חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/אריתמטיקה של גבולות וכלל הסנדוויץ: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 7:
# <math>\ \lim_{n \to \infty} \left( a_n * b_n \right) = A * B</math>
# אם <math>\ b_n \ne 0 , B \ne 0</math> אזי <math>\ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}</math>
{{הוכחה|
{{להשלים}}
מהגדרת הגבול,
<math dir = "ltr"> \forall_{\epsilon > 0}\exists_{N}\forall_{n \ge N}\vert a_n - A \vert < \epsilon</math><br>
<math dir = "ltr"> \forall_{\epsilon > 0}\exists_{N}\forall_{n \ge N}\vert b_n - B \vert < \epsilon</math>
#אם <math dir = "ltr">\displaystyle c = 0</math>, אז הטענה נכונה טריביאלית. אחרת, ניקח <math dir = "ltr">\displaystyle \epsilon' = \epsilon / c</math>. אז <math dir = "ltr"> \exists_{N}\forall_{n \ge N}\vert a_n - A \vert < \epsilon' \Rightarrow \exists_{N}\forall_{n \ge N}c \ \vert a_n - A \vert < \epsilon \Rightarrow \exists_{N}\forall_{n \ge N} \vert c \ a_n - c \A \vert < \epsilon</math>
#{{להשלים}}
#נובע משילוב שתי הנקודות הקודמות עם <math dir = "ltr">\displaystyle c = -1</math> בנקודה הראשונה.
| |||