אנליזה נומרית/פתרון משוואות דיפרנציאליות: הבדלים בין גרסאות בדף

 

==פתרון בשיטת אוילר==

 

שיטת אוילר היא פתרון באמצעות טור טיילור, כאשר לוקחים שני איברים ראשונים בלבד, דבר אשר חוסך חישוב נגזרות על חשבון פגיעה בדיוק הפתרון:

שיטה זו נקראת גם "שיטת אוילר המשופרת" (improved Euler method). מבחינה גאומטרית, היא משתמשת בממוצע השיפועים בשתי נקודות סמוכות <math>\ (x_i,y_i),\ (x_i+h,y_i+hy_i')</math> המתקבלות משיטת אוילר. שימו לב כי: <math>\ x_{i+1}=x_i+h,\ y_{i+1}= y_i+hy_i'</math> רק בשיטת אוילר, ואילו כאן אלו שתי נקודות שונות. כאן, הנקודה <math>\ (x_{i+1},y_{i+1})</math> מתקבלת מחיתוך הקו הישר היוצא מנקודה <math>\ (x_i,y_i)</math> וששיפועו הוא הממוצע הנ"ל, עם הישר <math>\ x=x_{i+1}=x+h</math>.

 

<math>\ y_{i+1}= y_i+ \tfrac{h}{2}(C_i,D_i)</math><br />

<math>\ C_i= f(x_i,y_i)</math><br />

כך שככל שנקח יותר איברים, נקבל ביטוי התלוי ביותר נקודות קודמות. שימו לב כי השתמשנו באופרטור הפרשים אחוריים על מנת לקבל תלות בנקודות הקודמות.

 

 

שימו לב כי אם ניקח איבר בודד, נקבל את שיטת אוילר.