מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקון בחזרה. מרחק יכול להיות גם לא טבעי (למשל חצי) |
מ כתית ה |
||
שורה 70:
אם נסתכל על נקודה במישור המרוכב נוריד עבורה אנך לציר <math>\ Re</math> ונחבר אותה עם , נראה כי קיבלנו משולש ישר זווית שהיתר שלו היא הישר שמחבר את הנקודה עם הראשית, ואורך הצלעות המאונכות בו הוא בדיוק החלק הממשי והחלק המדומה של המספר. משפט פיתגורס נותן מיידית את התוצאה המבוקשת.
==ההצגה
בחלק זה נשתמש בעובדות בסיסיות מ[[טריגונומטריה]].
כבר ראינו כי ניתן לראות כל מספר מרוכב כנקודה במישור. אנו נוהגים לתאר נקודות במישור באמצעות קוארדינטות שנקראות '''קרטזיות''' (על שם הפילוסוף והמתמטיקאי רנה דקארט שהמציא אותן) שמורכבת משני מספרים: קוארדינטת <math>\ x</math> וקוארדינטת <math>\ y</math>, שמתארות את המרחק מראשית הצירים שאנו הולכים במקביל לציר <math>\ y </math> ובמקביל לציר <math>\ x</math> כדי להגיע עד לנקודה.
ישנה דרך נוספת לתאר נקודה, ולכן דרך נוספת לתאר מספר מרוכב. בחלק זה נראה את הדרך הזו.
נביט בנקודה כלשהי במישור ונחבר אותה עם קו ישר אל ראשית הצירים. נסתכל על הקו שקיבלנו. יש לו שתי תכונות ברורות: ראשית, יש לו אורך מסויים. שנית, הוא יוצר זווית עם ציר <math>\ x</math> .למעשה הוא יוצר '''שתי''' זוויות עם ציר <math>\ x</math>, שמשלימות זו את זו ל-180 מעלות. לכן די בידיעה של אחת מהזוויות כדי לדעת מהי הזווית השניה. נבחר תמיד את הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר <math>\ x</math>.
כלומר, אם נדע אורך של ישר ואת הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר <math>\ x</math>, נוכל לתאר במדויק את אותו ישר, ולכן גם את הנקודה שבקצהו. לכן במקום לתאר נקודה עם קוארדינטות קרטזיות ניתן לתאר אותה באמצעות אורך וזווית, וזוהי בדיוק מהות ההצגה הקוטבית.
===מעבר בין ההצגות הקרטזית והקוטבית===
נניח שנתון לנו מספר מרוכב <math>\ a+bi</math>, כלומר הקוארדינטות הקרטזיות שלו במישור המרוכב הן <math>\ (a,b)</math>. אנחנו רוצים לדעת מהי ההצגה הקוטבית שלו. כיצד נמצא אותה?
ראשית, את אורכו של הישר קל לנו למצוא. כזכור, אורך זה הוא בדיוק הערך המוחלט של המספר המרוכב, כלומר <math>\ \sqrt{a^2+b^2}</math>. לתוצאה זו הגענו על פי משפט פיתגורס. נהוג לסמן את האורך על ידי האות <math>\ r</math>.
כדי למצוא את הזווית נצייר את המשולש ששימש אותנו גם בשימוש במשפט פיתגורס. במשולש זה נראה כי טנגנס הזווית שאנו מחפשים הוא בדיוק היחס <math>\ \frac{b}{a}</math>. לכן הזווית שלנו נתונה על ידי <math>\ \theta=\arctan\frac{b}{a}</math>. (בשביל הזווית אנו משתמשים באות היוונית תטה).
בעיה יכולה להתעורר כאשר <math>\ a=0</math>, כי הרי אז הביטוי <math>\ \frac{b}{a}</math> אינו מוגדר. נשים לב כי אם <math>\ a=0</math>, הישר שלנו הוא אנכי, ולכן הזוויות שהוא יוצר היא של תשעים מעלות - <math>\ \frac{\pi}{2}</math> רדיאנים. לכן גם במקרה זה אנו יודעים מהי הזווית מבלי שנשתמש בפונקצית הטנגנס ההפוכה. בצורה לא פורמלית ניתן לומר כי <math>\ \frac{b}{0}=\infty</math> ומתקיים <math>\ \arctan(\infty)=\frac{\pi}{2}</math>, אם כי מבחינה מתמטית מדויקת אמירה זו לא נכונה.
כיצד ניתן לבצע את המעבר ההפוך? כלומר, בהינתן <math>\ (r,\theta)</math> כיצד נעבור ל-<math>\ (x,y)</math>? גם כאן די בטריגונומטריה בסיסית. נצייר שוב את המשולש שלנו ונראה כי מתקיים:
:<math>\ x=r\cos\theta</math>
:<math>\ y=r\sin\theta</math>
כלומר, המעבר בכיוון השני הוא פשוט עוד יותר.
בהתבסס על נוסחאות אלו, אם נתון לנו המספר המרוכב <math>\ z=a+bi</math> וחישבנו את הזווית והאורך שלו, ניתן לכתוב אותו כך:
:<math>\ z=r\cos\theta+i\cdot r\sin\theta=r\cdot\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)</math>.
נהוג לסמן בקיצור:
<math>\ \cos\theta+i\sin\theta=cis\theta</math>.
ולכן מספר מרוכב יכול להיכתב בקיצור בצורה קוטבית על ידי:
<math>\ z=r\cdot cis\theta</math>.
להצגה הקוטבית יש שימושים רבים. בפרט, היא מאפשרת לבצע בצורה נוחה מאוד פעולות של כפל, חילוק, העלאה בחזקה והוצאת שורשים במספרים מרוכבים. נראה זאת בהמשך. עם זאת, יש לה גם חסרונות: חיבור וחיסור הרבה פחות קלים לביצוע בצורה זו.
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
<tr>
| |||