מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ כתית ה |
הרחבה - על נוסחת אוילר |
||
שורה 109:
<math>\ z=r\cdot cis\theta</math>.
להצגה הקוטבית יש שימושים רבים. בפרט, היא מאפשרת לבצע בצורה נוחה מאוד פעולות של כפל, חילוק, העלאה בחזקה והוצאת שורשים במספרים מרוכבים. נראה זאת
==נוסחת אוילר==
חלק זה מיועד להרחבה ולהעשרה, ואינו נכלל בחומר הלימוד לבגרות.
למספר <math>\ e=2.1783\dots</math> המכונה '''בסיס הלוגריתם הטבעי''' יש חשיבות רבה במתמטיקה, והוא מופיע בהקשרים שונים ומשונים. בחלק זה נלמד על אחד מהקשרים אלו.
הפונקציה <math>\ f(x)=e^x</math> מתאימה לכל מספר ממשי את <math>\ e</math> מועלה בחזקה שלו. באופן טבעי עולה השאלה: מה יקרה אם במקום מספר ממשי <math>\ x</math> נשתמש במספר מרוכב? כלומר, לכמה שווה <math>\ e^{a+bi}</math>?
ממבט ראשון השאלה עלולה להיראות חסרת פשר. לא ברור איזו משמעות ניתן לייחס למעריך שהוא מספר מרוכב. עם זאת, אין זה אומר שלא ניתן למצוא משמעות שכזו. כדאי לזכור כי גם <math>\ e^{\sqrt{2}}</math> אינה חזקה שאנו רגילים לה באלגברה הבסיסית, בה אנחנו עובדים עם חזקות שהן מספרים רציונליים בלבד.
אחת התגליות החשובות שגילה המתמטיקאי לאונרד אוילר (מהמתמטיקאים הפורים ביותר בכל הזמנים) הייתה המשמעות של אותה חזקה. מתברר כי מתקיימת הנוסחה הבאה:
:<math>\ e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}</math>
נוסחה זו נקראת '''נוסחת אוילר'''.
הוכחת נוסחה זו דורשת ידע ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] ובפרט בתחום העוסק ב[[טור טיילור|טורי טיילור]]. בסוף חלק זה נראה את רעיון ההוכחה, אך לא נוכיח את הנוסחה בצורה מדוייקת לחלוטין. לעת עתה ננסה להבין את משמעות הנוסחה.
מהנוסחה עולה כי <math>\ e</math> בחזקת מספר מרוכב הוא בעצמו מספר מרוכב. תוצאה זו לא מפתיעה במיוחד. מהנוסחה עוד עולה כי ניתן לתאר כל מספר הנתון בהצגה קוטבית בתור חזקה של <math>\ e</math>:
:<math>\ r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})=r\cdot e^{i\theta}</math>.
נוסחה זו קצרה יותר לכתיבה מאשר הנוסחה שמכילה את הפונקציות הטריגונומטריות, ולכן לרוב מעדיפים להשתמש בה. כמו כן, מהנוסחה הזו יותר ברורות תכונות הכפל, החילוק והחזקה שאותן נראה בפרק הבא.
בעזרת שימוש בחוקי החזקות הבסיסיים, קל לחשב את החזקה של <math>\ e</math> עבור מספר מרוכב שנתון בצורה <math>\ a+bi</math>:
:<math>\ e^{a+bi}=e^a\cdot e^{bi}=e^a\cdot cisb</math>
כלומר, <math>\ e</math> בחזקת המספר <math>\ a+bi</math> הוא מספר מרוכב שאורכו <math>\ e^{a}</math> והזווית שלו עם הכיוון החיובי של ציר <math>\ x</math> היא <math>\ b</math>. הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקורית של <math>\ e</math> עבור מספרים ממשיים בלבד: כאשר <math>\ b=0</math> נקבל את המספר הממשי <math>\ e^{a}</math>.
מקרה פרטי של השימוש בנוסחת אוילר הוא כאשר <math>\ \theta=\pi</math>. במקרה זה נקבל:
:<math>\ e^{i\pi}=\cos{\pi}+i\sin{\pi}=-1</math>.
על ידי העברת אגפים נקבל את הזהות:
:<math>\ e^{i\pi}+1=0</math>.
זהות זו מכונה '''זהות אוילר''' ונחשבת בעיניי רבים לאחת מהזהויות היפות במתמטיקה. היא קושרת יחד חמישה מהמספרים הבסיסיים ביותר במתמטיקה: <math>\ 0</math>, שהוא המספר הנייטרלי ביחס לחיבור, <math>\ 1</math> שהוא המספר הנייטרלי ביחס לכפל, <math>\ \pi</math> שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו, <math>\ e</math> ו-<math>\ i</math>.
===הוכחה===
בחלק זה נראה את רעיון ההוכחה של זהות אוילר. ההוכחה מתבססת על התכונה <math>\ i^2=-1</math> ועל טור הטיילור של הפונקציות <math>\ e^x,\sin(x),\cos(x)</math>.
טור טיילור הוא מושג השייך לתחום החשבון האינפיניטסימלי. טור טיילור של פונקציה כלשהי בנקודה מסויימת הוא סכום אינסופי של מספרים, כך שככל שמסכמים בו יותר מספרים, הסכום הולך ומתקרב למספר שהוא הערך של הפונקציה בנקודה הזו.
למשל, טור הטיילור של <math>\ e^x</math> הוא זה:
:<math>\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots</math>
האיבר השמאלי ביותר בטור, זה שבו מופיע <math>\ n</math>, נקרא '''האיבר הכללי''' של הטור. כל איבר בטור הוא מהצורה של האיבר הכללי, עבור ערכים שונים של <math>\ n</math>, כאשר <math>\ n</math> הוא מספר טבעי או אפס. נסו להציב את הערכים <math>\ n=0,1,2,3,4</math> ותראו שאתם אכן מקבלים את האיברים הראשונים בטור.
כעת נסו להציב <math>\ x=1</math> והתחילו לחבר את אברי הטור. תראו כי הסכום שאתם מקבלים הולך ומתקרב לערכו של <math>\ e</math>. ככל שתחברו יותר איברים כך תגדל רמת הדיוק שלכם, עד שלבסוף תעברו את הדיוק של מחשבוני כיס. אכן, אחת הדרכים שבה מחשבון יכול לחשב ערכים של פונקציות היא באמצעות טור הטיילור שלהן. מכיוון שהטור הוא אינסופי התוצאה שתתקבל לא תהיה מדוייקת - אבל עבור אוסף גדול של טורים, היא תהיה קרובה ככל שנרצה.
טור טיילור יכול לשמש ליותר מאשר מציאת קירובים. כעת נראה כיצד משתמשים בו כדי להוכיח את זהות אוילר.
ראשית נציג את טורי טיילור של פונקציות הסינוס והקוסינוס:
:<math>\ \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots</math>
:<math>\ \sin(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots</math>
קרוב לודאי שאתם שמים לב לדמיון בין הטור של <math>\ e^x</math> לטורים של סינוס וקוסינוס. קשר זה אינו מקרי, כמובן.
כעת נראה מה קורה כאשר אנו מציבים בטור של <math>\ e^x</math> מספר מרוכב - כלומר, נציב <math>\ x=i\theta</math>. נקבל:
:<math>\ e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(5i)^5}{5!}+\dots=1+i\theta+\frac{-\theta^2}{2!}+\frac{-i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}=
</math>
:<math>\ =
\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\dots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\dots\right)=\cos\theta+i\sin\theta</math>
וכך קיבלנו את הנוסחה.
ההוכחה שלנו אינה מלאה, וחסרות לנו הצדקות לחלק מהמעברים שביצענו. בפרט המעבר שבו פירקנו את הטור שלנו לשני טורים שונים תוך שאנו משנים את סדר הסכימה דורש הצדקה. הצדקה זו שייכת לתחומי החשבון האינפיניטסימלי והאנליזה המרוכבת, שאיננו נכנסים אליהם כאן.
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
| |||