מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Gadial (שיחה | תרומות)
מ שינוי הקישור
Gadial (שיחה | תרומות)
מ הרחבה קטנה
שורה 89:
 
בעיה יכולה להתעורר כאשר <math>\ a=0</math>, כי הרי אז הביטוי <math>\ \frac{b}{a}</math> אינו מוגדר. נשים לב כי אם <math>\ a=0</math>, הישר שלנו הוא אנכי, ולכן הזוויות שהוא יוצר היא של תשעים מעלות - <math>\ \frac{\pi}{2}</math> רדיאנים. לכן גם במקרה זה אנו יודעים מהי הזווית מבלי שנשתמש בפונקצית הטנגנס ההפוכה. בצורה לא פורמלית ניתן לומר כי <math>\ \frac{b}{0}=\infty</math> ומתקיים <math>\ \arctan(\infty)=\frac{\pi}{2}</math>, אם כי מבחינה מתמטית מדויקת אמירה זו לא נכונה.
 
 
כיצד ניתן לבצע את המעבר ההפוך? כלומר, בהינתן <math>\ (r,\theta)</math> כיצד נעבור ל-<math>\ (x,y)</math>? גם כאן די בטריגונומטריה בסיסית. נצייר שוב את המשולש שלנו ונראה כי מתקיים:
שורה 111 ⟵ 110:
להצגה הקוטבית יש שימושים רבים. בפרט, היא מאפשרת לבצע בצורה נוחה מאוד פעולות של כפל, חילוק, העלאה בחזקה והוצאת שורשים במספרים מרוכבים. נראה זאת בפרק הבא. עם זאת, יש לה גם חסרונות: חיבור וחיסור הרבה פחות קלים לביצוע בצורה זו.
 
את הזווית נהוג לכנות לפעמים בתור '''הארגומנט''' של המספר המרוכב, אולם כאן חבויה בעיה בשימוש בה' הידיעה, שכן למספר מרוכב יש למעשה אינסוף זוויות שמתאימות לו. זאת מכיוון שפונקציות הסינוס והקוסינוס הן מחזוריות, וכל 360 מעלות הן חוזרות על עצמן. מכאן שאם למספר מרוכב מתאימה זווית כלשהי, גם כל זווית אחרת שהתקבלה על ידי חיבור או חיסור כפולות של 360 מעלות תיתן את אותן התוצאות בדיוק. על כן בוחרים בתור '''ה'''ארגומנט את הזווית שנמצאת בתחום שבין 0 ל-360 מעלות.
==נוסחת אוילר==
חלק זה מיועד להרחבה ולהעשרה, ואינו נכלל בחומר הלימוד לבגרות.