מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Atavory (שיחה | תרומות)
מ ←‏דוגמא 2: הגהה
Atavory (שיחה | תרומות)
מ הגהה
שורה 1:
==חקירת משוואה ריבועית==
חקירת משוואה ריבועית הוא תחום המתבקש מיד מידיעת פתרון אי שוויונות. חקירת משוואה ריבועית זה ניתוח מתמטי של מספר הפתרונות של משוואה ריבועית הנתונה לנו, לרוב בצורה פרמטרית. החקירה מתבססת בעיקר על תכונות הדיסקרימיננטה (<math>\;\Delta </math> - ד'לתא). חקירת משוואה ריבועית היא לרוב שאלה מסוג "עבור אילו ערכים של הפרמטר <math>\;m</math> יש למשוואה שני פתרונות, פתרון אחד או 0 פתרונות?". התשובה היא (במקרה של דוגמאדוגמה אופיינית זו) 3 '''תחומים''': תחום 2 פתרונות, פתרון אחד ואי-קיום פתרון.<br />
===סכימה לפתרון===
במקרה של חקירת משוואה ריבועית, קשה מאוד להפתיע, והנושא הוא למעשה נושא יחסית פשוט. על כן, ניתן לכתוב סכימה פשוטה יחסית שנותנת פתרון לכל בעיה אפשרית בבחינות הבגרות. על מנת להסיר ספק, הסכימה נותנת תשובה לשאלה: "מתי יש למשוואה ריבועית נתונה 2 פתרונות, פתרון אחד או 0 פתרונות". ישנו סוג נוסף של שאלות, אותו ננסח בהמשך (ואף הוא אינו קשה כלל ועיקר). הבה נניח שיש משוואה ריבועית הנתונה (באופן הכללי ביותר) על ידי
שורה 68:
תלמיד המתקשה בשימוש בחוקי דה-מורגן יכול כמובן לעבוד על פי הסכימה שכתובה לעיל והתשובה שתתקבל תהיה שקולה.
 
====דוגמאדוגמה 12====
נתונה המשוואה הריבועית <math>\;m^2 x^2 + (2m-5)x+1=0</math>. עבור אילו ערכים של <math>\;m</math> יש למשוואה שני פתרונות בדיוק?<br />
'''פתרון:''' לפי הכלל, למשוואה יש שני פתרונות אם ורק אם מתקיים ש:
שורה 134:
</center>
מכאן קל לקבל כמה תנאים לגבי תכונת הסימן של הפתרונות. למשל, על מנת שלשני הפתרונות יהיו סימנים הפוכים, עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית. יש לשים לב כי אם ניתנה לנו שאלה, הדרישות שלנו על הפתרונות חייבים להיות גם מספיקים וגם הכרחיים, כלומר שאם הם מתקיימים אז תנאי השאלה מתקיימים ואם תנאי השאלה מתקיימים אז התנאים מתקיימים. כלומר, אם נתבקשנו למצוא את התנאי שנוסח כ"פתרונות המשוואה שוני סימן" הרי שאם הפתרונות שוני סימן אז ברור שמכפלתם היא שלילית, ומאידך ברור שאם מכפלתם שלילית אז הם בוודאי שוני סימן. בכל שאלה עלינו לוודא שאכן התנאי עובד לשני הכיוונים.
====דוגמאדוגמה 3====
נחזור לדוגמאלדוגמה הראשונה שהוצגה בסעיף זה. <math>\;m^2 x^2 + (2m-5)x+1=0</math>. עלינו למצוא עבור אילו ערכים של <math>\;m</math> למשוואה פתרונות שוני סימן. כבר הערנו שבמקרה זה עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית, כלומר <math>x_1 \cdot x_2 <0</math> או, לפי נוסחאות וייטה
<center>
<math>
שורה 149:
אי שיוויון זה אינו מתקיים לעולם(במסגרת המספרים הממשיים) ולכן אנו מסיקים שלא קיימים ערכים של <math>\;m</math> שעבורם לפתרונות המשוואה סימנים הפוכים במסגרת המספרים הממשיים.
 
====דוגמאדוגמה 4====
עבור אילו ערכי <math>\;m</math> למשוואה <math>\;m^2 x^2 + (2m-5)x+1=0</math> יש שני פתרונות חיוביים?
בעיה זו דומה לבעיה קודמת. עם זאת, במקרה זה עלינו לשים לב לתנאים נוספים. עלינו למצוא את התאי שעבורו למשוואה שני הפתרונות חיוביים. זה אומר שלשניהם יש אותו סימן, אך ברור שתנאי זה אינו מספיק מכיוון שגם לו מצאנו את הערכים עבורם לשני הפתרונות סימנים זהים, הרי שיתכן שהפתרונות שניהם שליליים. על מנת לוודא שהפתרונות הם אכן חיוביים, נשים לב שמספיק לדאוג ש'''סכומם''' יהיה חיובי. זאת מכיוון שאם שני הפתרונות הם בעלי סימנים זהים, אז שניהם חיוביים או שליליים באותו הזמן אז סכומם הוא חיובי רק אם שניהם חיוביים. מאידך ברור שאם שניהם חיוביים אז סכומם חיובי ובזאת קיבלנו את התנאי הנדרש. על פי נוסחאות וייטה ודוגמאודוגמה קודמת ברור שעל מנת שהפתרונות הם בעלי סימנים זהים צריך להיות
<center>
<math>