|
[[תמונה:Parallelogram_simpleMakbilit.svgpng|thumb|מקבילית]]
'''[[w:מקבילית|מקבילית]]''' היא [[w:גאומטריה:מצולע|מצולע]] בעל ארבע [[w:צלע (גאומטריה)|צלעות]], שכל שתי צלעות נגדיות שלו מקבילות.
באופן מתמטי נאמר שאם מרובע <math>\!\, ABCD</math> הוא מקבילית, אזי:
1) <math>\!\, AB||CD</math>
2) <math>\!\, BC||DA</math>
==משפטים המתקיימים במקבילית==
'''נתונים''' -
1) <math>\!\, AB||CD</math>
2) <math>\!\, BC||DA</math>
'''צריך להוכיח''' -
1) <math>\!\, \angle A=\angle C</math>
2) <math>\!\, \angle B=\angle D</math>
'''הוכחה''' -
3) <math>\!\, \angle DAB+\angle ADC=180</math> (זוויות חד-צדדיות משלימות אחת את השנייה ל180°)
4) <math>\!\, \angle DAB+\angle ABC=180</math> (זוויות חד-צדדיות משלימות אחת את השנייה ל180°)
5) <math>\!\, \angle BCD+\angle ADC=180</math> (זוויות חד-צדדיות משלימות אחת את השנייה ל180°)
6) <math>\!\, \angle ABC=\angle ADC</math> (נובע מ3,4)
7) <math>\!\, \angle BCD=\angle DAB</math> (נובע מ3,5)
===משפט הפוך: מרובע בו כל שתי זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית===
'''נתונים''' -
1) <math>\!\, \angle ABC=\angle CDA</math>
2) <math>\!\, \angle BCD=\angle DAB</math>
'''הוכחה''' -
3) <math>\!\, \angle ABC+\angle ADC+\angle BCD+\angle DAB=360</math> (סכום זוויות במרובע)
4) <math>\!\,\angle ABC+\angle BCD=180 \iff 2\angle ABC+2\angle BCD=360</math> (הצבת 1,2 ב3)
5) <math>\!\,\angle ABC+\angle DAB=180 \iff 2\angle ABC+2\angle DAB=360</math> (הצבת 1,2 ב3)
6) <math>\!\,AB||CD</math> (מ4, אם שתי זויות חד-צדדיות משלימות ל180°, הישרים מקבילים)
7) <math>\!\, AD||BC</math> (מ5, אם שתי זויות חד-צדדיות משלימות ל180°, הישרים מקבילים)
8) מרובע בו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית ע"פ ההגדרה. מ.ש.ל.
'''נתונים''' -
1) <math>\!\, AB||CD</math>
2) <math>\!\, AD||BC</math>
3) <math>\!\, \angle ABC=\angle ADC</math> (נובע מהמשפט הראשון בעמוד זה)
'''הוכחה''' -
4) <math>\!\, \angle CAB=\angle ACD</math> (זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
5) <math>\!\, AC=AC</math> (שיוויון הינו [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]] - כל דבר שווה לעצמו)
6) <math>\!\, \Delta CDA\cong\Delta ABC</math> (מ3,4,5 משפט חפיפה שני - ז.ז.צ)
7) <math>\!\, AD=BC</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
8) <math>\!\, AB=CD</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
===מרובע בו כל שתי צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית===
'''נתונים''' -
1) <math>\!\, AB=CD</math>
2) <math>\!\, AD=BC</math>
'''הוכחה''' -
3) <math>\!\, AC=AC</math> ([[רפלקסיביות]] השיוויון)
4) <math>\!\, \Delta CDA\cong\Delta ABC</math> (מ1,2,3 משפט חפיפה שלישי - צ.צ.צ)
5) <math>\!\, \angle BAC=\angle ACD</math> (זויות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ4)
6) <math>\!\, \angle CAD=\angle BCA</math> (זויות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ4)
7) <math>\!\, AB||CD</math> (נובע מ5, אם שתי זויות מתחלפות שוות הישרים מקבילים)
8) <math>\!\, AD||BC</math> (נובע מ6, אם שתי זויות מתחלפות שוות הישרים מקבילים)
----
'''נתונים''' -
[[תמונה:Parallelogram AB eq CD.svg|thumb]]
1) <math>\!\, AB||CD</math>
2) <math>\!\, AD||BC</math>
3) <math>\!\, AB=CD</math> (כתוצאה מהמשפט השלישי בעמוד זה)
'''הוכחה''' -
4) <math>\!\, \angle BAO=\angle OCD</math> (זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
5) <math>\!\, \angle ABO=\angle ODC</math> (זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
6) <math>\!\, \Delta CDO\cong\Delta ABO</math> (מ3,4,5 משפט חפיפה שני - ז.צ.ז)
7) <math>\!\, AO=OC</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
8) <math>\!\, BO=OD</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
===מרובע בו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית===
'''נתונים''' -
1) <math>\!\, AO=OC</math>
2) <math>\!\, BO=OD</math>
'''הוכחה''' -
3) <math>\!\, \angle AOB=\angle COD</math> (זוויות קודקודיות שוות זו לזו)
4) <math>\!\, \angle AOD=\angle COB</math> (זוויות קודקודיות שוות זו לזו)
5) <math>\!\, \Delta COD\cong\Delta AOB</math> (מ1,2,3 משפט חפיפה ראשון - צ.ז.צ)
6) <math>\!\, \Delta COB\cong\Delta AOD</math> (מ1,2,4 משפט חפיפה ראשון - צ.ז.צ)
7)<math>\!\, AB=CD</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ5)
8)<math>\!\, AD=BC</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ6)
9) <math>\!\, ABCD</math> מקבילית (נובע מ7,8 והמשפט הרביעי בעמוד זה)
----
'''נתונים''' - (ללא הגבלת הכלליות - ניתן לבחור את הזוג השני באותה מידה)
1) <math>\!\, AB=CD</math>
2) <math>\!\, AB||CD</math>
'''הוכחה''' -
3)<math>\!\, \angle BAC=\angle ACD</math> (זויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
4)<math>\!\, AC=AC</math> ([[רפלקסיביות]] השיוויון)
5) <math>\!\, \Delta CAB\cong\Delta ACD</math> (מ1,3,4 משפט חפיפה ראשון - צ.ז.צ)
6)<math>\!\, AD=BC</math> (צלעות מתאימות במשולשים חופפים - נובע מ5)
7) <math>\!\, ABCD</math> מקבילית (נובע מ1,6 והמשפט הרביעי בעמוד זה)
[[קטגוריה:גיאומטריה]]
| 