מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/בניה פורמלית של המספרים המרוכבים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הדרך הראשונה וחלק מהדרך השנייה - יש עוד מה להרחיב |
מ השלב הבא - פולינומים |
||
שורה 57:
שתי דוגמאות לשדות שודאי מוכרות לכם הם המספרים הרציונליים והמספרים הממשיים. המספרים השלמים אינם שדה כי אין בהם הופכי לפעולת הכפל. למשל, <math>\ \frac{1}{2}</math> אינו מספר שלם ולכן ל-<math>\ 2</math> אין הופכי (המספרים השלמים נקראים '''חוג''', שזהו מקרה כללי יותר של שדה, אך לא ניכנס לכך כאן). קיימות דוגמאות רבות אחרות שלא נציג כאן, אך נשים לב כי אפילו הקבוצה שמכילה רק את המספרים <math>\ 0,1</math> כאשר פעולות החיבור והכפל מוגדרות כרגיל פרט לכך ש-<math>\ 1+1=0</math> מהווה שדה!
===פולינומים===
כעת נלמד על פולינומים והקשר שלהם למשוואות.
ודאי כבר נתקלתם בפולינומים בעבר. מספר דוגמאות לפולינומים הן:
#<math>\ x^2+1</math>
#<math>\ 5x^3+2x</math>
#<math>\ 12x^6+4x^3+x^2+13</math>
וכדומה. באופן כללי, פולינום הוא ביטוי מהצורה
<math>\ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0</math>
כאשר <math>\ a_n,a_{n-1},\dots,a_1,a_0</math> הם פרמטרים שנקראים '''מקדמי הפולינום'''.
<math>\ n</math> יכול להיות כל מספר טבעי. מקדמי הפולינום יכולים להיות גם <math>\ 0</math>, אך נהוג כי המקדם של החזקה הגבוהה ביותר בפולינום יהיה שונה מ-<math>\ 0</math>, אחרת נקבל כמה הצגות שונות לאותו פולינום. למשל, הפולינום מס' 1 מהדוגמה הקודמת יכול להיכתב גם בצורה הזו:
<math>\ 0\cdot x^3+x^2+1</math>
ניתן לחשוב על פולינום כעל תבנית או כעל '''פונקציה''' שמקבלת ערכים שונים של <math>\ x</math> , ומציבה אותם בפולינום. למשל, הצבה של <math>\ 3</math> בפולינום הראשון שבדוגמה תחזיר:
<math>\ 3^2+1=9+1=10</math>
אך ניתן לחשוב על הפולינומים גם כעל אובייקטים העומדים בפני עצמם וניתן לחבר ולכפול אותם על פי כללי החיבור והכפל הרגילים.
הקשר בין משוואות ופולינומים ברור: אם מספר כלשהו הוא פתרון של המשוואה <math>\ a_nx^n+\dots+a_1x+a_0=0</math>, אז ההצבה של אותו מספר בפולינום <math>\ a_nx^n+\dots+a_1x+a_0</math> תחזיר 0. למספר כזה קוראים '''אפס''' של הפולינום, או '''שורש''' של הפולינום. שימו לב כי המילה "שורש" מופיעה כאן במשמעות שונה מהמשמעות המקובלת שלה.
עד עכשיו המקדמים של הפולינום היו תמיד מספרים, וכך הם יהיו גם בשימוש שאנו נעשה בפולינומים, אך באופן כללי ניתן לבחור מקדמים מכל קבוצת איברים שמוגדרות עליה פעולות של כפל וחיבור. בשל כך התהליך שנראה בהמשך ניתן לביצוע עבור כל שדה, ולא רק עבור המספרים הממשיים.
| |||