מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/בניה פורמלית של המספרים המרוכבים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ השלב הבא - פולינומים |
מ חלוקת פולינומים |
||
שורה 75:
<math>\ 0\cdot x^3+x^2+1</math>
לחזקה הגבוהה ביותר של פולינום שהמקדם שלה שונה מאפס קוראים '''דרגת''' הפולינום. בדוגמאות שהבאנו הפולינום הראשון הוא מדרגה 2, השני מדרגה 3 והשלישי מדרגה 6.
ניתן לחשוב על פולינום כעל תבנית או כעל '''פונקציה''' שמקבלת ערכים שונים של <math>\ x</math> , ומציבה אותם בפולינום. למשל, הצבה של <math>\ 3</math> בפולינום הראשון שבדוגמה תחזיר:
שורה 86 ⟵ 88:
עד עכשיו המקדמים של הפולינום היו תמיד מספרים, וכך הם יהיו גם בשימוש שאנו נעשה בפולינומים, אך באופן כללי ניתן לבחור מקדמים מכל קבוצת איברים שמוגדרות עליה פעולות של כפל וחיבור. בשל כך התהליך שנראה בהמשך ניתן לביצוע עבור כל שדה, ולא רק עבור המספרים הממשיים.
===חלוקת פולינומים===
לפני שנראה כיצד הפולינומים משמשים בהרחבת שדות אנחנו צריכים לדעת עוד דבר אחד: כיצד מתבצעת חלוקת פולינומים. חלוקת פולינומים דומה מאוד לחילוק ארוך עם שארית. התהליך עצמו הוא טכני ואינו מסובך במיוחד, אך לא ניכנס אליו כאן מאחר שאין זה הכרחי למה שאנו עומדים לעשות. אנו מתעניינים בעיקר בתוצאת החילוק. אם <math>\ p(x)</math> הוא פולינום ואנו רוצים לחלק אותו בפולינום <math>\ q(x)</math>, התוצאה תהיה פולינום אחר, שהוא המנה של החלוקה, ופולינום שהוא השארית של החלוקה. ניתן לתאר זאת על ידי המשוואה הבאה:
<math>\ p(x)=q(x)s(x)+r(x)</math>
כאן <math>\ s(x)</math> הוא פולינום המנה, ואילו <math>\ r(x)</math> הוא פולינום השארית. לפולינום השארית תכונה חשובה: הדרגה שלו קטנה מזו של <math>\ q(x)</math>.
למשל, אם נחלק את הפולינום השלישי מהדוגמאות בפולינום הראשון נקבל:
<math>\ 12x^6+4x^3+x^2+13=(x^2+1)(12x^4-12x^2+4x+13)+(-4x)</math>
אתם יכולים לנסות ולבצע את פעולות הכפל והחיבור באגף ימין ולראות שאכן מתקבל אגף שמאל.
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
| |||