מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/בניה פורמלית של המספרים המרוכבים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ חלוקת פולינומים |
מ הרחבת שדות |
||
שורה 101:
אתם יכולים לנסות ולבצע את פעולות הכפל והחיבור באגף ימין ולראות שאכן מתקבל אגף שמאל.
===בניית שדה המרוכבים===
כעת נראה כיצד מקבלים משדה המספרים הממשיים שדה חדש, שתכונותיו יהיו התכונות שאנו רוצים משדה המספרים המרוכבים.
הרעיון הבסיסי הוא ליצור שדה שאבריו יהיו '''פולינומים''' מסויימים. נבחר את אברי השדה להיות כל הפולינומים שיכולים להתקבל כשאריות של חילוק בפולינום <math>\ x^2+1</math> עם מקדמים שהם מספרים ממשיים. כלומר, כל הפולינומים מדרגה 1 לכל היותר. לפולינומים אלו הצורה הכללית <math>\ a+bx</math> כאשר <math>\ a,b</math> הם מספרים ממשיים.
את פעולת החיבור נגדיר כרגיל, אבל פעולת הכפל תוגדר כך: ראשית יש לבצע כפל פולינומים רגיל, אבל את התוצאה יש לחלק ב-<math>\ x^2+1</math> ולקחת את השארית של החלוקה בתור הפתרון.
למשל, נכפול את האיברים <math>\ x+3,2x+1</math>:
<math>\ (x+3)(2x+1)=2x^2+7x+3</math> על פי הגדרת הכפל הרגילה של פולינומים.
נחלק את <math>\ 2x^2+7x+3</math> בפולינום <math>\ x^2+1</math>:
<math>\ 2x^2+7x+3=2(x^2+1)+(7x+1)</math>
ולכן נגדיר את הכפל בצורה המיוחדת כך:
<math>\ (x+3)(2x+1)=7x+1</math>
כעת נראה כיצד מתבצע כפל פולינומים בצורה כללית:
<math>\ (a+bx)(c+dx)=ac+(ad+bc)x+bdx^2</math>
ולאחר חילוק נקבל:
<math>\ ac+(ad+bc)x+bdx^2=bd(x^2+1)+(ac-bd)+(ad+bc)x</math>
ודאי כבר שמתם לב לדמיון לפעולת הכפל במספרים מרוכבים.
כעת נזהה כל אחד מהפולינומים עם מספר מרוכב: את הפולינום <math>\ a+bx</math> נזהה עם המספר המרוכב <math>\ a+bi</math>. ניתן להראות כי פרט לצורת הסימון השונה, אוסף המספרים המרוכבים זהה לאוסף הפולינומים עם הפעולות המיוחדות שהוגדרו.
===הרחבת שדות===
ראינו כיצד השיטה מתבצעת, אבל טרם הראנו את הרעיון הכללי שעומד מאחוריה.
ראשית, כאשר הסתכלנו רק על אוסף השאריות האפשריות של חלוקה בפולינום מסויים והגדרנו את הכפל באמצעות חלוקה זו ביצענו תהליך כללי יותר, שנקרא '''בניית חוג מנה'''. לא ניכנס כאן בפירוט לתהליך הזה, אך נציין כי הרעיון הכללי שעומד מאחוריו הוא לקחת את אבריה של קבוצה עם פעולות כפל וחיבור, למצוא מכנה משותף כלשהו בין חלק מאיבריה ולהתייחס לכל אותם איברים זהים כאל איבר יחיד. במקרה שלנו, התכונה המשותפת שמצאנו היא שארית זהה בחלוקה ב-<math>\ x^2+1</math>: התייחסנו לכל הפולינומים שמשאירים אותה שארית כפולינום אחד, אשר מיוצג על ידי הפולינום של אותה שארית.
שנית, אף שהתהליך התבצע עם הפולינום <math>\ x^2+1</math> אין מניעה לבצע אותו עם פולינומים אחרים. ניתן להוכיח כי בכל מקרה שבו אנו מבצעים את התהליך עם פולינום שהוא '''אי פריק''' (כלומר, לא ניתן לכתיבה כמכפלה של פולינומים ממעלות נמוכות יותר) מקבלים שדה, ובשדה זה קיים לפולינום שאיתו ביצענו את התהליך שורש.
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
<tr>
| |||