חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הגדרת הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 40:
 
* <math>\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots</math>. זוהי הסדרה עם האיבר הכללי <math>\ a_n=\frac{1}{n}</math>
: כפי שכבר ציינו בתחילת הפרק גם הסדרה הזו מתכנסת לאפס, וגם זה כנראה ברור באופן אינטואיטיבי - אך ההוכחה כאן מתקדמת צעד אחד קדימה. לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N = \frac{1}{\varepsilon}</math> כך שלכל <math>\ n > N</math> יתקיים -
<center><math>\ \left| a_n - L \right| = \left| \frac{1}{n} - 0 \right| = \left| \frac{1}{n} \right| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} = \varepsilon</math></center>
: כלומר - <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math> ולכן הסדרה מתכנסת לאפס.
: הרעיון החדש בהוכחה זו היא הצורה שבה בחרנו את <math>\ N</math> - שימו לב ש-<math>\ N</math> תלוי ב-<math>\ \varepsilon</math> (כלומר <math>\ N</math> הוא '''פונקציה של''' <math>\ \varepsilon</math>, ולכן לעיתים מסומן <math>\ N_( \varepsilon )</math>).