אנליזה נומרית/פתרון משוואות דיפרנציאליות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←שיטות רב-צעדיות: שבירת שורות |
|||
שורה 94:
:<math>\ y'(x)=f(x,y)\quad\Rightarrow\ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} \frac{dy}{dx}dx= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx \quad\Rightarrow\ y_{i+1}-y_i= \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx</math>
נשאר, אם כן, לפתור את האינטגרל <math>\ \int\limits_{x_i}^{x_{i+1}} fdx</math>. לשם כך נבצע החלפת משתנים: <math>\ x=x_i+ \theta h,\ dx=hd\theta,\ 0\le\theta\le 1</math> כך שערכי f המתקבלים בין x<sub>i</sub>,x<sub>i+1</sub> ניתנים לתיאור על ידי: <math>\ f=E^{\theta} f(x_i)</math> ולכן האינטגרל מקבל את הצורה:
:<math>\ \int\limits_0^1 E^{\theta} \overbrace{f(x_i,y_i)h}^{const.}d\theta= \int\limits_0^1 (1-\nabla)^{-\theta}f(x_i,y_i)hd\theta=\int\limits_0^1 h\left[ 1+\theta\nabla+ \tfrac{\theta(\theta+1)}{2}\nabla^2+... \right]f(x_i,y_i) d\theta= </math>▼
<div style="direction: ltr;">
:<math>\ = h\left.\left[ \theta+{\theta^2\over 2}\nabla+ \left( {\theta^3\over 6}+{\theta^2\over 4} \right)\nabla^2... \right]f(x_i,y_i)\right|_0^1= h\left[ 1+{\nabla\over 2}+ {5 \over 12}\nabla^2+ {9\over 24}\nabla^3+... \right]f(x_i,y_i)</math>▼
▲:<math>\ \int\limits_0^1 E^{\theta} \overbrace{f(x_i,y_i)h}^{const.}d\theta= \int\limits_0^1 (1-\nabla)^{-\theta}f(x_i,y_i)hd\theta=
:<math>\ =\ \int\limits_0^1 h\left[ 1+\theta\nabla+ \tfrac{\theta(\theta+1)}{2}\nabla^2+... \right]f(x_i,y_i) d\theta= </math>
▲:<math>\ = h\left.\left[ \theta+{\theta^2\over 2}\nabla+ \left( {\theta^3\over 6}+{\theta^2\over 4} \right)\nabla^2... \right]f(x_i,y_i)\right|_0^1=
:<math>\ =\ h\left[ 1+{\nabla\over 2}+ {5 \over 12}\nabla^2+ {9\over 24}\nabla^3+... \right]f(x_i,y_i)</math>
</div>
כך שככל שנקח יותר איברים, נקבל ביטוי התלוי ביותר נקודות קודמות. שימו לב כי השתמשנו באופרטור הפרשים אחוריים על מנת לקבל תלות בנקודות הקודמות.
שורה 106 ⟵ 112:
===שיטת Adams-Bashforth===
נפתח את 4 האיברים הראשונים שציינו לעיל:
:<math>\ \begin{align}
& + \left. 37f(x_{i-2},y_{i-2})-9f(x_{i-3},y_{i-3}) \right]+ O(h^5) \\
\end{align}
\ ,\quad i\ge 3</math>
*שימו לב כי לשיטה זו יש לספק 3 תנאי התחלה, אשר בדרך כלל מוצאים אותם בשיטת רונגה-קוטה או בשיטת אוילר. כמו כן, על אותה שיטה להשתמש באותו מרווח h.
*נשווה שיטה זו לשיטת רונגה-קוטה מסדר 4, מבחינת מספר פעולות החישוב: <math>\ \tfrac{R-K}{A-B}= \tfrac{4N}{4\cdot 3+(N-3)}=\tfrac{4N}{N+9}\approx 4</math>, כלומר שיטת רונגה-קוטה איטית פי 4.
*על מנת להשתמש בשיטה זו עבור '''מערכת מד"ר''', נחליף את הכתיב הסקלרי בכתיב הוקטורי:
:<math>\ \begin{align}
& + \left. 37\vec f(x_{i-2},\vec y_{i-2})-9\vec f(x_{i-3},\vec y_{i-3}) \right]+ O(h^5)\ \\
\end{align}
,\quad i\ge 3</math>
===שיטת Adams===
שורה 120 ⟵ 134:
<div style="direction: ltr;">
:<math>\ \mbox{LHS:}\quad y_n+ hy_n'+ \tfrac{h^2}{2}y_n''+ \tfrac{h^3}{3!}y_n'''+ \tfrac{h^4}{4!}y_n^{(4)}+...</math>
:<math>\ \begin{align}
& \left. + (8y_n')- \left(y_n'-hy_n''+ \tfrac{h^2}{2}y_n'''- \tfrac{h^3}{3!}y_n^{(4)}+...\right)\right] +R \\
\end{align}</math>
<br />
:<math>\ \begin{align}
| |||