מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוצאת שורשים |
מ פתרון משוואות ריבועיות |
||
שורה 45:
פתרונות המשוואה הם <math>\ t_{1,2}=4,-9</math>. מכיוון ש-<math>\ y</math> הוא מספר ממשי הפתרון <math>\ y^2=-9</math> אינו קביל, ולכן <math>\ y_{1,2}=\pm 2</math> הם הפתרונות היחידים, ולהם מתאימים הפתרונות <math>\ x_{1,2}=\pm 3</math>.
קיבלנו כי <math>\ \sqrt{5+12i}=\pm(3+2i
==פתרון משוואות ריבועיות==
כעת נראה דוגמה לפתרון משוואה ריבועית. באופן כללי הרעיון זהה לרעיון של פתרון משוואות ריבועיות במספרים ממשיים: אם <math>\ az^2+bz+c=0</math> היא המשוואה, אז שני הפתרונות נתונים על ידי:
<math>\ z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
כל המקדמים (<math>\ a,b,c</math>) יכולים להיות מספרים מרוכבים, ולכן לצורך הפתרון נזדקק לכל מה שלמדנו עד עתה: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש.
נפתור את המשוואה הריבועיות <math>\ z^2+(1+2i)z-2-2i</math>
במקרה זה:
<math>\ a=1,b=1+2i,c=-(2+2i)</math>
הדיסקרימיננטה היא:
<math>\ b^2-4ac=(1+2i)^2+4(2+2i)=1+4i-4+8+8i=5+12i</math>
וכבר ראינו כי <math>\ \sqrt{5+12i}=\pm(3+2i)</math>. לכן נקבל:
<math>\ z_{1,2}=\frac{-1-2i\pm(3+2i)}{2}</math> ונקבל את שני הפתרונות:
<math>\ z_1=1,z_2=-2-2i</math>
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
<tr>
| |||