חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 120:
== הגדרות וסימונים נוספים ==
===פסוק===
פסוק הינו עובדה, טענה או משפט, שיכולים להיות אמת או שקר. למשל: אם היום יום רביעי, נוכל לומר שהפסוק "היום יום רביעי" הוא פסוק אמת. לעומת זאת, אם היום יום רביעי, הפסוק "היום יום ראשון" הוא פסוק שקרי. בחשבון אינפיטיסימלי ובמתמטיקה בכלל, משתמשים לרוב במילה "טענה" במקום במילה "פסוק". לעיתים, משתמשים במילה "משפט", שהוא במתמטיקה בעל משמעות יותר חזקה.
===סימן ה"מכיל את" (או "מוכל ב")===
<math>\subseteq</math>. אם נרצה לומר, שהקבוצה A מכילה את הקבוצה B, או לחילופין - שהקבוצה B מוכלת בתוך הקבוצה A, נכתוב: <math>B\subseteq A</math> או <math>A\supseteq B</math>.
למשל: נסמן (או נגדיר): <math> A=\left\{ 1,2,3,4 \right\}, B=\left\{ 1,2,3 \right\} </math>. ואז מתקיים: <math>B\subseteq A</math>.
*במקרה כזה, נגיד ש-B היא <u>תת קבוצה<u/> של A או <u>קבוצה חלקית<u/> ל- A.
*דרך אחרת להביע את <math>B\subseteq A</math>, היא לכתוב: <math>\forall x\in B, x\in A </math> (כלומר: כל איבר השייך לקבוצה B שייך גם לקבוצה A).
*
אם קיים איבר בקבוצה A שאינו נמצא בקבוצה B, נגיד שהקבוצה B מוכלת ממש בקבוצה A. נכתוב זאת בשפת תורה הקבוצות: .
סימון להכלה ממש: (או ). במקרה זה, נוכל לכתוב ש- (כלומר A אינה מוכלת ב-B).
יש המסמנים הכלה בעזרת הסימון סימון הכלה, ואילו הכלה ממש בעזרת . בקורס זה, נדבוק בסימונים שצויינו למעלה.
קל לראות, שכל קבוצות המספרים שהוגדרו למעלה מקיימות ביניהן את הקשר הבא: . למעשה, בכל המקרים מדובר בהכלה ממש.
עבור הקבוצה הריקה , מתקיים: לכל קבוצה , .
לכל קבוצה A, מתקיים: (תכונת הסימטריות).
תכונת הטרנזיטיביות: אם וגם , אזי . אם נרצה להשתמש לגמרי בכתיב של תורת הקבוצות (כלומר בכתיב מתמטי), נכתוב:
.
חשוב מאוד להיזהר ולשים לב להבדלים שבין שייכות לבין הכלה! נתבונן, למשל, בדוגמה הבאה: {78,12,15, חתול} = . אז נכון לכתוב : , אבל לא נכון לכתוב ! לעומת זאת, מתקיים : (כי כל איבר של , באופן ריק, הוא גם איבר של ) , אבל לא מתקיים , (משום שהקבוצה אינה מכילה את האיבר ).
| |||