חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הגדרת הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 16:
* <math>\ 1,0,1,0,\dots</math> בסדרה זו כל איבר אי זוגי הוא 1, וכל איבר אי זוגי הוא 0. כיוון שבסדרה יש אינסוף מספרים זוגיים לכאורה ניתן לומר כי על פי ההגדרה הסדרה מתכנסת לאפס, שכן בכל סביבה של 0 קיימים אינסוף מאברי הסדרה (<math>\ a_2 = a_4 = \dots = a_2n = 0</math>) אבל! זו היא לא ההגדרה - ההגדרה דורשת שלכל סביבה של 0 כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איברים יהיו בתוך הסביבה. אבל אם ניקח סביבה בגודל <math>\ 1/2</math>, כלומר טווח המספרים שבין <math>\ 1/2</math> ל-<math>\ -1/2</math>, נראה שקיימים אינסוף מאברי הסדרה מחוץ לסביבה - כל האיברים האי זוגיים שערכם <math>\ 1</math>.
: הסדרה לא מתכנסת לאפס - אך אולי היא מתכנסת למספר אחר? בהינתן מספר <math>\ L \ne 0</math> ניקח סביבה בגודל <math>\ L/2</math>, זו היא הסביבה <math>\ \left( L/2 , 3L/2 \right) </math> ויש אינסוף איברים (כל האיברים האי זוגיים, אלו שערכם אפס) שנמצאים מחוץ לסביבה זו - כלומר הסדרה לא מתכנסת לאפס, אך גם לא מתכנסת לאף מספר השונה מאפס - ולכן
ראינו איך ניתן להראות מהגדרת הגבול כי סדרות מסויימות אינן מתכנסות לגבול, אך קשה יותר להראות באמצעות ההגדרה כי סדרה מסויימת מתכנסת, על מנת לעשות זאת נשתמש בניסוח שונה מעט של הגדרת הגבול -
שורה 24:
}}
הגדרה זו שקולה להגדרת הגבול. בהגדרה
<center>
|