חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הגדרת הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

* <math>\ 1,0,1,0,\dots</math> בסדרה זו כל איבר אי זוגי הוא 1, וכל איבר אי זוגי הוא 0. כיוון שבסדרה יש אינסוף מספרים זוגיים לכאורה ניתן לומר כי על פי ההגדרה הסדרה מתכנסת לאפס, שכן בכל סביבה של 0 קיימים אינסוף מאברי הסדרה (<math>\ a_2 = a_4 = \dots = a_2n = 0</math>) אבל! זו היא לא ההגדרה - ההגדרה דורשת שלכל סביבה של 0 כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איברים יהיו בתוך הסביבה. אבל אם ניקח סביבה בגודל <math>\ 1/2</math>, כלומר טווח המספרים שבין <math>\ 1/2</math> ל-<math>\ -1/2</math>, נראה שקיימים אינסוף מאברי הסדרה מחוץ לסביבה - כל האיברים האי זוגיים שערכם <math>\ 1</math>.

הגדרה זו שקולה להגדרת הגבול. בהגדרה המקורית נדרש כי לכל סביבה של <math>\ L</math> יהיו כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של איברים. בהגדרה זו הסביבה מוגדרת במפורש על ידי <math> \varepsilon</math>, ונדרש שהחל מ-<math>\ N</math> מסויים כל אברי הסדרה יהיו בסביבה זו. לכן קיימים לכל היותר <math>\ N</math> איברים שאינם נמצאים בסביבה הרצויה, ומכיוון שההגדרה דורשת קיומו של <math>\ N</math> כזה מספרם הוא סופי. נראה כי הדרישה כי <math>\ a_n</math> יהיה בסביבה <math>\ \varepsilon</math> של <math>\ L</math> זהה לדרישה כי <math>\ \left| a_n - L \right| < \varepsilon</math>