חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Superot (שיחה | תרומות)
Superot (שיחה | תרומות)
שורה 159:
 
===<math>\sum</math> סימון לסכימה===
נניח שנתונים לנו n איברים <math>x_1, x_2,x_3, .... x_n</math>, ואנחנו רוצים למצוא את הסכום של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא: <math>\sum_{i=1}^n x_i =x_1+x_2+x_3+...+x_n</math>.
*דוגמה: את הסכום של סידרה הנדסית בת n איברים, שאיברה הראשון 1 וגורם המכפלה שלה הינו q, ניתן לרשום באופן הבא: <math>\sum_{i=1}^n q^i =\frac{q^{n+1}-1}{q-1}</math>.
*דוגמא נוספת: הבינום של ניוטון: <math>\left( a+b \right)^n = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\times a^k b^{n-k} </math>, כאשר מגדירים: <math>{n\choose k} = C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!} </math>.
 
=== <math> \prod</math> סימון לכפל ===
נניח שנתונים לנו n איברים <math>x_1, x_2,x_3, .... x_n</math>, ואנחנו רוצים לחשב את המכפלה של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא: <math>\prod_{i=1}^n x_i =x_1\times x_2\times x_3\times ...\times x_n</math>.
 
=== סימן ההגדרה===
אמרנו כבר, שכדי להגדיר קבוצה מספיק לרשום אותה. אולם, לעיתים נרצה להגדיר דברים אחרים - למשל, משתנים. נניח שאנו משתמשים הרבה בביטוי <math>\sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha</math>, ומעוניינים לחסוך לעצמינו את הטרחה שבכתיבת הביטוי שוב ושוב. על מנת לעשות זאת, נוכל להגדיר משתנה חדש, שיסמן עבורינו את הביטוי הנ"ל. נניח שנקרא למשתנה החדש X. נכתוב:
<math> x:=sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha</math> </br>
או לחילופין: <math>x^\triangle _= \sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha</math></br>
או לחילופין: <math>x\equiv \sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha</math>. </br>
כאשר המשמעות היא, כאמור: X ''מוגדר להיות'' הביטוי הנ"ל. כלומר, בכל מקום שבו כתוב X, עלינו להתנהג כאילו כתוב <math>\sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha</math>.
*הערה: הסימן <math>\equiv</math> משמש גם לסימון זהות, לכן אנו נעדיף כאן את השימוש ב- <math>:=</math> או ב- <math> x^\triangle _= </math> .
 
==פעולות אריתמטיות על קבוצות==