חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 175:
==פעולות אריתמטיות על קבוצות==
===איחוד (Unitification)===
נתונות הקבוצות A ו- B. אז האיחוד ביניהן יסומן כך: <math>C=A\cup B= \left\{ x|x\in A \vee x\in B \right\}</math>, כלומר הקבוצה C מורכבת מ''כל'' האיברים בקבוצה A ו''מכל'' האיברים בקבוצה B.
*נשים לב לשימוש בכָּמַת "או": מספיק שאיבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאיבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות A או B) על מנת להיות בקבוצה C.
*ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות: <math>A\cup B\cup C\cup ...</math> וכולי. ואז, הקבוצה החדשה תכיל את ''כל'' האיברים של ''כל'' הקבוצות.
*אם I קבוצת אינדקסים, (למשל: קבוצה עם n אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות <math>A_i</math> (כלומר A עם אינדקס i) באופן הבא:
<math>A_{i_1}\cup A_{i_2}\cup A_{i_3}\cup...\cup A_{i_n} =\cup_{i\in I} A_i</math>.
*עבור <math>C=A\cup B</math>, מתקיים: <math>C\subseteq A</math> וגם <math>C\subseteq B</math>.
*לכל קבוצה A, מתקיים: <math>A=A\cup\empty</math>, <math>A=A\cup A</math>.
*דוגמה: נתון {1,2,3}=A={2,3,4} ,B. אזי: <math>A\cup B=\left\{ 1,2,3,4 \right\}</math>.
*דוגמה נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> נוכל לכתוב באופן הבא, במונחים של איחוד קבוצות: <math>\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\ -\mathbb{N}</math>, כאשר <math>-\mathbb{N}</math> פירושו: <math>-\mathbb{N}=\left\{ -1\times n|n\in \mathbb{N}\right\}</math>.
===חיתוך (Intersection)===
נתונות הקבוצות A ו- B. אז החיתוך ביניהן יסומן כך: <math>C=A\cap B= \left\{ x|x\in A \wedge x\in B \right\}</math>, כלומר הקבוצה C מורכבת מהאיברים שנמצאים ''גם'' בקבוצה A ו''גם'' בקבוצה B.
*נשים לב לשימוש בכָּמַת "וגם": על איבר כלשהו להשתייך ''הן'' לקבוצה A ו''הן'' לקבוצה B על מנת להיות בקבוצה C.
*ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות: <math>A\cap B\cap C\cap ...</math> . ואז, הקבוצה החדשה תכיל ''רק'' את האיברים המשותפים ל''כל'' הקבוצות.
*אם I קבוצת אינדקסים, (למשל: קבוצה עם n אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות <math>A_i</math> (כלומר A עם אינדקס i) באופן הבא:
<math>A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{i_3}\cap...\cap A_{i_n} =\cap_{i\in I} A_i</math>.
*עבור <math>C=A\cap B</math>, מתקיים: <math>C\subseteq A</math> וגם <math>C\subseteq B</math>.
*לכל קבוצה A, מתקיים: <math>A\cap\empty =\empty</math>, <math>A\cap A=A</math>.
*דוגמה: נתון {1,2,3}=A={2,3,4} ,B. אזי: <math>A\cap B=\left\{ 2,3 \right\}</math>.
===חיסור בין קבוצות===
לכל שתי קבוצות A, B נוכל להגדיר את פעולת החיסור באופן הבא: <math>C=A-B=A\backslash B= \left\{ x\in A|x\not\in B \right\}</math> כלומר, הקבוצה C מכילה את כל איברי A ש''אינם'' נמצאים בקבוצה B.
*עבור <math>C=A\backslash B</math>, מתקיים: <math>C\subseteq A</math>.
*לכל קבוצה A, מתקיים: <math>A=A\backslash\empty</math>.
*דוגמה: נתון {1,2,3}=A={2,3,4} ,B . אזי: <math>A\backslash B={1}</math>.
'''''חשוב''''': לא להתבלבל בין סימן חיסור הקבוצות "\" לבין הסימן "/" (שמשמש, לרוב, לסימון חילוק, או בקורסים אחרים לסימון מחלקות שקילות)!!! המשמעות של כל אחד מהסימנים שונה לחלוטין!
=== = שיוויון בין קבוצות===
מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של איברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האיברים שלהן. כלומר, הביטוי "B=A" ייכתב באופן הבא: <math>x\in A \Leftrightarrow x\in B</math>.
*''דוגמה חשובה'': נתונות הקבוצות {1,2,2}=A ו- {1,2}=B. אזי: A=B. (ודאו שהנכם מבינים מדוע!!!!)
*לכל קבוצה A מתקיים: A=A (תכונת הסימטריות). ניתן לכתוב תכונה זו גם באופן הבא: <math>x\in A \Leftrightarrow x\in A</math>.
*תכונת הטרנזיטיביות: <math>\left( A=B \right) \wedge \left( B=C \right) \Rightarrow \left( A=C \right) </math>. תכונה זו, כמו גם התכונה הקודמת שצוינה, הינה ברורה ודומה כי מיותר לציינה. לדברים שהם ברורים קוראים במתמטיקה "דברים טריוויאלים".
==קטעים==
| |||