מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ פתרון משוואות ריבועיות |
מ הוספת חלק על נוסחאות וייטה |
||
שורה 69:
<math>\ z_1=1,z_2=-2-2i</math>
==נוסחאות וייטה==
ייתכן כי כבר נתקלתם בנוסחאות וייטה בחקירת משוואות ריבועיות במספרים ממשיים. הן תקפות גם עבור מספרים מרוכבים, ונראה זאת כאן.
נוסחאות וייטה עוסקות בצורה של סכום ומכפלה של שני הפתרונות של משוואה ריבועית. מסתבר שכדי לדעת את הסכום והמכפלה די לדעת את מקדמי המשוואה. נראה זאת.
תהא <math>\ az^2+bz+c</math> משוואה ריבועית. על פי הנוסחה הכללית לפתרון המשוואה, שני הפתרונות הם:
<math>\ z_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},z_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
ולכן:
<math>\ z_1+z_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}</math>
<math>\ z_1z_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}</math>
קיבלנו את שתי נוסחאות וייטה:
#<math>\ z_1+z_2=-\frac{b}{a}</math>
#<math>\ z_1z_2=\frac{c}{a}</math>
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
| |||