מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תמונות |
תיקון (שחזור) |
||
שורה 1:
'''נגזרת -''' שיפוע ל[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|פונקציה]] שאינה דווקא [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה/לינארית]] (y=mx+n). מסומנת :<math>f(X)'</math>.
'''נקודת ההשקה -''' נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ : (a,b).
==ה"בעיה" במציאת נגזרת==
[[קובץ:Linear function.JPG|right|thumb|100px| עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה]]
שורה 50 ⟵ 54:
שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2) כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''
==גבול (lim)==
התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך X של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!<br />
חישוב המתבצע באמצעות lim מקצר את כל הדרך.
'''החישוב מתבצע כך :''' <math>lim M</math> ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע).
===דוגמא===
נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות lim. על פי הנתונים :<math>lim\frac{x^2-1}{x-1}</math>
טענו כי אנו ''<span style="color: BLUE;">שואפים</span>'' שהנקודה השנייה (B), תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה (A). לכן, במקום לרשום את הערכים שקטנים וגדולים מ-X<sub>A</sub> (כפי שניתן בדוגמא למעלה), אנו אומרים כי X<sub>B</sub> שואף להיות X<sub>A</sub> (הנקודה הכי, הכי קרובה ל-X<sub>A</sub> - רוצה להיות שווה X<sub>A</sub>). נרשום זאת כך :
<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}</math>
מעתה, אנו מתייחסים אל X<sub>B</sub> כשווה ל-X<sub>A</sub>.
נפרק את הגבול לגורמים ונקבל :
<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1</math>
כיוון שטענו כי Xa=Xb, נציב את X<sub>A</sub>=1 בגבול. <math>lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2</math>.
מכאן, ששיפוע הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> הוא 2. בדיוק אותה מסקנה שגילנו בדרך הטבלאות.
==פונקציה גזירה==
את נוסחא ה'''גבול''' פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה-lim. לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
[[קטגוריה:מתמטיקה לבגרות]]
| |||