חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 228:
==אינדוקציה==
ה''אינדוקציה'' הינה כלי מתמטי חשוב מאוד. באינדוקציה אנו מוכיחים טענה "אינסופית" (כלומר, כזו הנכונה עבור אינסוף מספרים) באופן הבא: ראשית אנו מראים את נכונות הטענה עד מספר טבעי מסויים, ולאחר מכן אנו מראים כיצד נכונות הטענה עבור מספר זה גוררת את נכונותה גם עבור המספר הבא בתור. על מנת להבין בפרוטרוט מונח זה, אתם מוזמנים לקרוא את הסעיף הרלוונטי בקורס [[תורת הקבוצות|תורת הקבוצות]].
*דוגמה לשימוש באינדוקציה: נוכיח את ה'''''טענה''''' הבאה: <math>\forall n\in\mathbb{N} , \sum_{k=1}^{n} \left( 2\times k-1 \right) =n^2</math>.
'''''הוכחה''''': נוכיח, כאמור, באינדוקציה.</br>
<u>שלב א'</u>: ''בסיס האינדוקציה'': נבדוק את נכונות הטענה עבור 1=n:
<math>\sum_{k=1}^n \underbrace{ = }_{*} \sum_{k=1}^1 \left( 2\times k-1 \right) =2\times 1-1=1=n^2</math>.
כאשר בשלב * אנו מציבים <math> n=1 </math>. כלומר, אנו רואים ש-1=n מקיים את הטענה.</br>
<u>שלב ב'</u>: ''הנחת האינדוקציה'': נניח שלכל מספר הקטן מ- n מסויים, הטענה נכונה. מותר לנו להניח זאת, משום שהוכחנו שקיים מספר (1) שלגביו הטענה נכונה, ותמיד נוכל לטעון שאנו מתייחסים למספר זה בהנחת האינדוקציה. כלומר, הנחת האינדוקציה הינה: קיים <math>n\in\mathbb{N}</math>, כך שעבור כל n הקטן ממנו, וגם עבורו עצמו, מתקיים:
<math>\sum_{k=1}^{n-1}\left( 2\times k-1 \right) = \left( n-1 \right) ^2</math>.
(הערה: נכון הוא שהשימוש הרב באותו סימון n עלול להיות מבלבל. עם זאת, זוהי הדרך המקובלת לסימון, לכן כדאי שהקורא יתרגל לכך כבר בשלב זה).</br>
<u>שלב ג'</u>: ''צעד האינדוקציה'': בשלב זה נוכיח, שהנחת האינדוקציה עבור n גוררת את נכונות הטענה גם עבור 1+n. או בכתיב מתמטי:
<math>\sum_{k=1}^{n-1} \left( 2\times k-1 \right) =\left( n-1 \right) ^2 \Rightarrow \sum_{k=1}^n \left( 2\times k-1 \right) = n^2</math>.
ונוכיח באופן הבא: מתקיים: <math>\sum_{k=1}^n \left( 2\times k-1 \right)=\underbrace{ \sum_{k=1}^{n-1} \left( 2\times k-1 \right) }_{ \left( * \right )} + \left( 2\times n-1 \right) </math>.
כעת: האיבר (*) שווה, לפי הנחת האינדוקציה, ל- <math>\left( n-1 \right) ^2</math>. כלומר, נוכל לכתוב:</br> <math>\sum_{k=1}^n \left( 2\times k-1 \right) =\sum_{k=1}^{n-1} \left( 2\times k-1 \right) + \left( 2\times n-1 \right) = \left( n-1 \right) ^2 + \left( 2\times n-1 \right) =</math>
<math>= \left( n^2 -2n +1 \right) +2n-1 =n^2 -2n+1+2n-1 =n^2 </math>.</br>ובזאת סיימנו את ההוכחה. במתמטיקה, נהוג לסמן בסוף הוכחה ריבוע קטן: ▪.
==מספרים רציונלים ואי-רציונלים==
===הקדמה===
| |||