חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 247:
==מספרים רציונלים ואי-רציונלים==
===הקדמה===
ניזכר בהגדרת קבוצת המספרים הרציונליים: <math>\mathbb{Q} =\left\{ \frac{p}{q} |p,q\in\mathbb{Z} \wedge q\ne 0 \right\}</math>. כזכור, מספר יקרא "רציונלי" אם הוא שייך לקבוצה זו.</br>
<u>הגדרה</u>: עבור מספרים <u>שלמים</u> n ו- k, נגיד ש- "''k מחלק את n''", אם קיים מספר שלם l המקיים: <math>n=l\times k</math>. סימון: <math>k|n</math>.
כעת נכתוב שוב את ההגדרה, בכתיב של תורת הקבוצות:
<math> k|n \Leftrightarrow \exists l\in\mathbb{Z} : l\times k=n </math>.
*שימו לב, שכאן השתמשנו בסימן ":" עבור הביטוי "כך ש", על מנת לא להתבלבל בינו ובין סימן ה"|" עבור הביטוי "מחלק את". כמו כן, השתמשנו בסימן <math>\Leftrightarrow</math>, על מנת להראות את השקילות בין הסימון לבין ההגדרה.
<u>הגדרה</u>: ''מספרים זרים'': נתונים שני מספרים שלמים n ו- m. אם אין להם אף גורם (מחלק) משותף, נגיד שהם זרים. כלומר, אם: <math>\left( k|m \wedge k|n \right) \Rightarrow k=1</math>. </br>
<u>הגדרה</u>: כידוע, ההצגה של מספר רציונלי היא לא יחידה, למשל: <math>\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{31}{62}</math> וכולי. לכן, נולד הצורך בהגדרת ''שבר מצומצם'': המספר <math>\frac{p}{q}</math> (עבור p,q שלמים ו-<math>q\ne 0</math>) יקרא שבר מצומצם, אם p ו-q מספרים זרים.
===טענה: <math>\sqrt{2}</math> אינו רציונלי.===
| |||