|
תורת הקבוצות הינה כלי רב עוצמה ושימושי מאוד במתמטיקה. כשמה כן היא - תורה שלמה, המקיפה ענפים רבים במתמטיקה, ומהווה בסיס לרבים אחרים. בפרק זה נלמד להשתמש בשפתה של תורה זו, שפה המשמשת כל מתמטיקאי באשר הוא. כמו כן, נראה מספר משפטים והוכחות בתחום.
הנושאים בפרק זה:
== סימנים חשובים ==
[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/סימנים חשובים|סימנים חשובים]]</br>
[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מושג הקבוצה|מושג הקבוצה]]</br>
[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/הגדרות וסימונים נוספים|הגדרות וסימונים נוספים]]</br>
הנושא הבא בפרק זה: [[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פעולות אריתמטיות על קבוצות|פעולות אריתמטיות על קבוצות]]</br>
כמו בכל שפה, גם לשפת המתמטיקה כתב משלה. כמה מהסימנים במתמטיקה נקראים "כָּמַתים", משום שהם מציינים כמות או יחס בין כמויות.
נביא כעת דוגמאות לכמתים וּלסימנים חשובים במתמטיקה:
=== <math>\forall</math> הכָּמַת ''לכל'' ===
אין הכוונה היא למילה "כל", אלא למילה "לכל". למשל, אם נרצה לומר "כל הילדים חכמים" לא נוכל להשתמש בסימון זה. לעומת זאת, במשפט כגון "לכל איש יש שם" - זהו הסימון המתאים.
נשים לב, שכָּמַת ה"לכל" נראה כאות הלטינית A הרשומה הפוך, מלשון ''All''.
=== <math>\exist</math> הכָּמַת ''קיים'' ===
אם נרצה לכתוב את המשפט מלמעלה "לכל איש יש שם", נוכל לרשום אותו באופן הבא:
<math>\left( \forall {person} \right) \left( \exist {name} \right)</math>
* במקרה המסויים הזה, הכוונה היא שהשם שייך לָאיש. באופן כללי, הכוונה ברשום למעלה היא שעבור כל איש בעולם, קיים שם כלשהו - לאו דוקא ששייך לו.
* השתמשנו כאן בסוגריים למען הנוחות והבהירות. באופן כללי, אין הכרח להשתמש בהם.
* נשים לב, שכָּמַת ה"קיים" נראה כאות הלטינית E הרשומה הפוך, מלשון Exist. למעשה, התרגום הלטיני המדויק לביטוי "קיים" הינו "there Exist".
* הסימון "קיים" פירושו, בשפת היומיום, "קיים אחד", כלומר "קיים לפחות אחד". פעמים רבות, כפי שנראה בהמשך, קיום של אחד ממה שאנו מחפשים גורר קיום של אינסוף כאלה. אולם, לרוב נסתפק באחד בלבד.
=== <math>\in</math> סימן ה''שייך ל...'' ===
אם נרצה לומר, שהאיבר <math>x</math> ''שייך'' [[אינפי:מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות#מושג הקבוצה|לקבוצה]] <math>X</math> , נוכל לרשום: <math>x \in X</math>.
* גם סימן זה דומה לאות E הלטינית. קל לזכור שזהו הסימן ''לאלמנט'' בקבוצה אם נזכור כי אלמנט באנגלית הוא Element.
=== <math>\notin</math> סימן ה''לא שייך ל...'' ===
באותה צורה כמו למעלה, אם נרצה לומר שהאיבר <math>y</math> אינו שייך לקבוצה <math>X</math>, נרשום: <math>y \notin X</math> .
=== <math>\Leftarrow</math> סימן ''הגרירה'' ===
משמעו, הנאמר בצד ימין של הסימן גורר את הנאמר בצד שמאל שלו. או לחילופין: הכתוב בצד שמאל של הסימן נובע מהכתוב בצד ימין שלו. משפט כגון "הייתי ילד טוב ולכן אקבל סוכריה" ניתן לרשום באופן הבא:<br>
הייתי ילד טוב <math>\Leftarrow</math> אקבל סוכריה.
* ניתן לכתוב סימן זה גם בכיוון ההפוך, כלומר <math>\Rightarrow</math>, ואז צד שמאל של המשוואה יגרור את צד ימין. מכיוון שמתמטיקה, בניגוד לעברית, נכתבת משמאל לימין, זהו הסימון בו נשתמש לרוב.
=== <math>\iff</math> סימון ה''אם ורק אם'' ===
פירוש הסימן הוא, שצד ימין גורר את צד שמאל וגם צד שמאל גורר את צד ימין.
הערה לסימון: הביטוי "אם ורק אם" נפוץ מאוד במתמטיקה. נהוג, על כן, לכתוב בקיצור: או"א, אמ"מ או אם"ם. באנגלית נקרא שמו If and only if, וסימונו המקוצר - IFF.
=== הביטוי ''באופן ריק'' ===
מדובר בביטוי חשוב מאוד במתמטיקה (ללא סימון) המתייחס להתנהגות של דברים שלא קיימים. הדבר נשמע אולי מוזר מעט בהתחלה, שלא לומר מטופש, אך נסו לחשוב על כך באופן הבא: הרבה פעמים קורה, שאדם שאין לו ילדים אומר משפט הנפתח ב"הילדים שלי לעולם לא...". כלומר, אף על פי שאין לו ילדים, יודע האדם איך הם יתנהגו (הערה של כמה הורים: חושב שהוא יודע). לו היה אותו אדם מדייק מבחינה מתמטית, הרי שהיה עליו לומר: "הילדים שלי, באופן ריק, לעולם לא..."
== מושג הקבוצה ==
===הגדרה===
'''קבוצה''' הינה אוסף של איברים. ב[[תורת הקבוצות]], "איברים" יכולים להיות מכל סוג שהוא - סוסים, מרצפות, אטבים, שתילים, עגבניות, חייזרים ועוד ועוד כיד בדימיון הטובה עלינו. בקורס זה, "קבוצה" תהיה עבורינו אוסף של מספרים, ומספרים בלבד.
===סימון===
קבוצה תסומן תמיד באות לטינית גדולה, ואיבריה יירשמו בתוך סוגריים מסולסלות {}. יש לציין כי סימון קבוצה שקול להגדרתה (כלומר, אם נרצה להגדיר קבוצה מסויימת, מספיק לרשום או לסמן אותה באחת מהדרכים שנראה מיד) ישנן כמה דרכים בהן ניתן לכתוב את איברי הקבוצה בתוך הסוגריים. אנו נתבונן בשלושת הנפוצות:
*רשימה מפורשת של כל האיברים שבה, מופרדים באמצאות פסיקים. דוגמה: נתונה הקבוצה A, המכילה את האיברים הבאים: 3, 4, 5, 7. אזי נוכל לכתוב את A באופן הבא:
<math>A=\begin{Bmatrix} 3,4,5,7 \end{Bmatrix}</math>
*איפיון של איברי הקבוצה: במקרה זה קבוצה זו מכילה את ''כל'' האיברים בעולם בעלי איפיון זה. דוגמה: הקבוצה B את כל המספרים הראשונים הקטנים מ17. נסמן P = כל המספרים הראשוניים, ואז נרשום:
<math>B=\begin{Bmatrix} p \in P | p<17\end{Bmatrix}</math>
**הביטוי <math>p \in P</math> פירושו, כזכור, שהאיבר p שייך לקבוצה P.
**הביטוי <math>\ |</math> פירושו "כך ש" ולפעמים נכתוב במקומו נקודתיים
**הביטוי <math>\ p<17</math> הוא התנאי, אותו חייב לקיים ''כל איבר'' בקבוצה B; במקרה זה כל איבר בקבוצה חייב להיות קטן מ-17.
**כמו כן, ''כל'' מספר ראשוני הקטן מ-17 נמצא בקבוצה B. כלומר את התנאי שלנו מקיים כל איבר בקבוצה B, וכל איבר בעולם שמקיים את התנאי - נמצא בקבוצה B. (משפט זה חשוב מאוד - קראו אותו שוב והיו בטוחים שהבנתם את משמעותו!)
*רשימה מפורשת של איברים, בדרך מקוצרת. דוגמה: נתונה הקבוצה G המכילה n איברים שונים <math>x_1, x_2, x_3, ...x_n</math> (כלומר האיברים x בעלי אינדק 1, 2 וכולי עד האינדקס n. נוסיף ונציין כי איננו יודעים מהו ערכו של המספר n, ולכן לא נוכל לרשום במפורש את כל איברי הקבוצה G) אזי, במקום לכתוב במפורש <math>G=\begin{Bmatrix} x_1, x_2, x_3, ...x_n\end{Bmatrix}</math> נוכל לרשום את הקבוצה באופן הבא:
<math>G=\begin{Bmatrix} x_i \end{Bmatrix}{}_{i=1}^n</math>
===קבוצות מיוחדות===
ישנן כמה קבוצות של מספרים שהן חשובות מאוד. קבוצות אלה זכו לסימונים מיוחדים:
===קבוצת המספרים הטבעיים===
סימונה של קבוצת המספרים הטבעיים הוא <math>\mathbb{N}</math> (מלשון Natural), והיא מכילה את כל המספרים השלמים האי שליליים, כלומר את המספרים: 1,2,3,4 וכן הלאה. מספרים אלה נקראים "טבעיים" משום שעצמים שלמים אי-שליליים מצויים בטבע בשפע - עץ אחד, סוס אחד וכולי.
*ישנה אסכולה הכוללת גם את המספר אפס 0 במספרים הטבעיים. אנחנו, כאמור, נכלול בקבוצה זו את המספרים האי-שליליים בלבד.
*בסימוני תורת הקבוצות שלמדנו למעלה, נוכל לכתוב את הקבוצה <math>\mathbb{N}</math> באופן הבא:
<math>\mathbb{N}=\begin{Bmatrix}1,2,3...\end{Bmatrix}</math>
*מספר השייך לקבוצת המספרים הטבעיים נקרא "מספר טבעי".
===קבוצת המספרים השלמים===
סימונה של קבוצת המספרים השלמים הוא <math>\mathbb{Z}</math> (מלשון Zahl - מספר בגרמנית, או Zählend שפירושו בגרמנית ספִירה), והיא מכילה את כל המספרים השלמים, כלומר: את 0,1,2,3,4 וכולי, אבל גם את 1-,2-,3-,4- (וכולי). בסימוני תורת הקבוצות שלמדנו למעלה, נוכל לרשום את הקבוצה <math>\mathbb{Z}</math> באופן הבא:
<math>\mathbb{Z}=\begin{Bmatrix}...-3,-2,-1,0,1,2,3...\end{Bmatrix}</math>
*מאוחר יותר, כשנלמד סימן נוסף, נכיר דרך נוספת בה נוכל לרשום את <math>\mathbb{Z}</math> .
*מספר השייך לקבוצת המספרים השלמים נקרא "מספר שלם".
===קבוצת המספרים הרציונליים===
סימונה של קבוצת המספרים הרציונליים הוא <math>\mathbb{Q}</math> (מלשון Quotient - מנה), והיא מכילה את כל השברים מהצורה <math>\frac{p}{q}</math> , כאשר p ו- q הינם מספרים שלמים ו-q שונה מ-0 , כלומר מספרים השייכים לקבוצה <math>\mathbb{Z}</math> . בסימוני תורת הקבוצות, נוכל לכתוב את הקבוצה <math>\mathbb{Q}</math> באופן הבא:
<math>\mathbb{Q}=\begin{Bmatrix} \frac{p}{q} | p,q \in \mathbb{Z}, q \ne 0\end{Bmatrix}</math>
*במקרה זה, כפי שנאמר למעלה, המספרים p ו-q צריכים למלא שני תנאים: גם להיות איברים בקבוצה <math>\mathbb{Z}</math> , וגם q צריך להיות שונה מאפס. מאוחר יותר, נכיר את הכמת "וגם". כרגע נסתפק בפסיק בין התנאים.
*שמה הלטיני של הקבוצה - Quotient - נובע מהעובדה שכל איבר בקבוצה (כלומר, כל מספר בה) הוא תוצאת חילוק, היינו מנה.
*מספר השייך לקבוצת המספרים הרציונליים נקרא "מספר רציונלי".
===קבוצת המספרים הממשיים===
סימונה של קבוצת המספרים הממשיים הוא <math>\mathbb{R}</math> (מלשון Real). קשה להגדיר קבוצה זו בצורה פשוטה, אך ניתן לחשוב עליה אינטואיטיבית כקבוצת כל המספרים שנמצאים על הקו הישר שעליו נמצאים כל המספרים השלמים. מאוחר יותר, נראה שהמספרים הממשיים הם למעשה גבולות של כל הסדרות המתכנסות האפשריות שאבריהן הם מספרים רציונליים, מה שנקרא "סדרות קושי". ישנה דרך נוספת להגדיר את המספרים הממשיים, זאת באמצעות עצמים מתמטיים אחרים הנקראים "חתכי דדקינד" ויוצגו בהמשך. כרגע, נקרא להם פשוט "כל המספרים".
*בקורס זה, קבוצת המספרים הממשיים היא הקבוצה בה נתעסק.
*מספר השייך לקבוצת המספרים הממשיים נקרא "מספר ממשי".
===קבוצת ה[[מספרים מרוכבים|מספרים המרוכבים]]===
סימונה של קבוצת המספרים המרוכבים (מדומים) הוא <math>\mathbb{C}</math> (מלשון Complexed), ולצורך הגדרתה עלינו להגדיר "מספר" חדש: נסמן: <math>i=\sqrt{-1}</math> , ואז נוכל לכתוב את הקבוצה <math>\mathbb{C}</math> באופן הבא:
<math>\mathbb{C}=\begin{Bmatrix} \alpha + \beta i | \alpha , \beta \in \mathbb{R} \end{Bmatrix}</math>
*במילים: הקבוצה <math>\mathbb{C}</math> מכילה את כל המספרים מהצורה <math> \alpha + \beta i </math>, כאשר α ו- β הינם מספרים ממשיים, כלומר מספרים השייכים לקבוצה <math>\mathbb{R}</math>.
*שמה הלטיני של הקבוצה - Complexed - כמו גם כינוייה "קבוצת המרוכבים", נובע מכך שאיבר כללי בה <u>מורכב</u> משני איברים: אחד שמכיל את i, ואחד שלא מכיל את i. השם "מדומים" מגיע מהעובדה שהמספר <math>\sqrt{-1}</math> הוא מספר שאינו קיים במציאות, אלא מספר שאנו נעזרים בו לצורך חישובים בלבד. בקורס זה, לא נתעסק עם מספרים מדומים כלל.
*מספר השייך לקבוצת המספרים המרוכבים (מדומים) נקרא "מספר מדומה (מרוכב)".
===הקבוצה הריקה===
סימונה של הקבוצה הריקה הוא <math>\empty</math> , וכשמה כן היא - ריקה, כלומר אינה מכילה אף איבר. למעשה, נוכל לומר שמתקיים: <math>\forall x, x \not\in \empty</math> . כלומר: לכל איבר x שהוא, x אינו שייך לקבוצה הריקה .
===קבוצת הממשיים החיוביים===
עבור הקבוצה <math> \mathbb{R} </math> מגדירים לפעמים את תת-הקבוצה <math> \mathbb{R}^+ </math>, המכילה את כל המספרים החיוביים ב-<math> \mathbb{R} </math>. כלומר: <math>\mathbb{R}^+ = \left\{ x\in\mathbb{R}|x > 0 \right\}</math>.
<!-- הטקסט כתוב בWORD בעזרת MATHTYPE הערה-->
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]
== הגדרות וסימונים נוספים ==
===פסוק===
פסוק הינו עובדה, טענה או משפט, שיכולים להיות אמת או שקר. למשל: אם היום יום רביעי, נוכל לומר שהפסוק "היום יום רביעי" הוא פסוק אמת. לעומת זאת, אם היום יום רביעי, הפסוק "היום יום ראשון" הוא פסוק שקרי. בחשבון אינפיטיסימלי ובמתמטיקה בכלל, משתמשים לרוב במילה "טענה" במקום במילה "פסוק". לעיתים, משתמשים במילה "משפט", שהוא במתמטיקה בעל משמעות יותר חזקה.
=== <math>\subseteq</math> סימן ה"מכיל את" (או "מוכל ב")===
אם נרצה לומר, שהקבוצה A מכילה את הקבוצה B, או לחילופין - שהקבוצה B מוכלת בתוך הקבוצה A, נכתוב: <math>B\subseteq A</math> או <math>A\supseteq B</math>.
למשל: נסמן (או נגדיר): <math> A=\left\{ 1,2,3,4 \right\}, B=\left\{ 1,2,3 \right\} </math>. ואז מתקיים: <math>B\subseteq A</math>.
*במקרה כזה, נגיד ש-B היא ''תת קבוצה'' של A או ''קבוצה חלקית'' ל- A.
*דרך אחרת להביע את <math>B\subseteq A</math>, היא לכתוב: <math>\forall x\in B, x\in A </math> (כלומר: כל איבר השייך לקבוצה B שייך גם לקבוצה A).
*אם קיים איבר בקבוצה A שאינו נמצא בקבוצה B, נגיד שהקבוצה B ''מוכלת ממש'' בקבוצה A. נכתוב זאת בשפת תורת הקבוצות: <math>\exists x\in A|x\not\in b</math>.
:סימון ל''הכלה ממש'': <math>B\subset A</math>. במקרה זה, נוכל לכתוב ש- <math>A\not\subset B</math> (כלומר A אינה מוכלת ב-B).
*יש המסמנים הכלה בעזרת הסימון <math>B\subset A</math>, ואילו הכלה ממש בעזרת <math>B\subsetneq A</math>. בקורס זה, נדבוק בסימונים שצויינו למעלה.
*קל לראות, שכל קבוצות המספרים שהוגדרו בסעיף הקודם מקיימות ביניהן את הקשר הבא:
<center><math>\empty\subseteq\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math></center>
למעשה, בכל המקרים מדובר בהכלה ממש.
*עבור הקבוצה הריקה <math>\empty</math>, מתקיים: לכל קבוצה A, <math>\empty\subseteq A</math> .
*לכל קבוצה A, מתקיים: <math>A\subseteq A</math> (תכונת הרפלקסיביות).
*תכונת הטרנזיטיביות: אם <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq C</math>, אזי <math>A\subseteq C</math> . אם נרצה להשתמש לגמרי בכתיב של תורת הקבוצות (כלומר בכתיב מתמטי), נכתוב:
<center><math>\left( A\subseteq B\wedge B\subseteq C \right)\Rightarrow A\subseteq C</math></center>
*חשוב מאוד להיזהר ולשים לב להבדלים שבין שייכות לבין הכלה! נתבונן, למשל, בדוגמה הבאה: {78,12,15,חתול}=A. אז נכון לכתוב <math>12\in A</math>, אבל לא נכון לכתוב <math>12\subseteq A</math>! לעומת זאת, מתקיים: <math>\empty\subseteq A</math> (כי כל איבר של <math>\empty</math>, באופן ריק, הוא גם איבר של A) , אבל לא מתקיים <math>\empty\in A</math>, (משום שהקבוצה A אינה מכילה את האיבר <math>\empty</math>.
=== סימון לשלילה ===
ישנם שני סימונים אפשריים: <math>\neg</math> או
<math>\sim </math>. למשל: לא נכון להגיד ש- 1>2, לכן הביטוי <math>\sim\left( 2<1 \right) </math> נכון.
===<math>\wedge</math> הכמת "וגם" ===
כל התנאים הרשומים מצידי הסימן <math>\wedge</math> נכונים, או לחילופין - כולם צריכים להתמלא על מנת שפסוק מסויים יהיה אמיתי. למשל: נניח שאדם רוצה לקנות ארטיק בטעם שוקו וגם ארטיק בטעם וניל. אז על מנת שהאדם יוכל להגשים את רצונו, צריך שבקיוסק יהיה '''גם''' ארטיק בטעם שוקו '''וגם''' ארטיק בטעם וניל. במילים אחרות, צריך להתקיים:
(בקיוסק יש ארטיק בטעם שוקו) <math>\wedge</math> (בקיוסק יש ארטיק בטעם וניל).
===<math>\vee</math> הכמת "או"===
מספיק שאחד התנאים הרשומים מאחד מצדדיו של סימן ה- <math>\vee</math> יתקיימו על מנת שפסוק כלשהו יהיה אמת, ואין זה משנה כלל אם מתקיים תנאי אחד או אם מתקיימים יותר. למשל: נניח שאדם רוצה לקנות ארטיק בטעם שוקו או ארטיק בטעם וניל לשם כך, מספיק שיהיה בקיוסק אחד מהארטיקים המבוקשים, ואין זה מפריע כלל אם שניהם נמצאים בקיוסק. כלומר, הדרישש מתמלאת בכל אחד מהמקרים הבאים:
*יש '''רק''' ארטיק בטעם שוקו בקיוסק.
*יש '''רק''' ארטיק בטעם וניל בקיוסק.
*יש '''גם''' ארטיק בטעם שוקו בקיוסק '''וגם''' ארטיק בטעם וניל.
נוכל לרשום את הדרישות באופן הבא:
(בקיוסק יש ארטיק בטעם שוקו) <math>\vee</math> (בקיוסק יש ארטיק בטעם וניל).
===<math>\sum</math> סימון לסכימה===
נניח שנתונים לנו n איברים <math>x_1, x_2,x_3, .... x_n</math>, ואנחנו רוצים למצוא את הסכום של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא: <math>\sum_{i=1}^n x_i =x_1+x_2+x_3+...+x_n</math>.
*דוגמה: את הסכום של סידרה הנדסית בת n איברים, שאיברה הראשון 1 וגורם המכפלה שלה הינו q, ניתן לרשום באופן הבא: <math>\sum_{i=1}^n q^i =\frac{q^{n+1}-1}{q-1}</math>.
*דוגמא נוספת: הבינום של ניוטון: <math>\left( a+b \right)^n = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\times a^k b^{n-k} </math>, כאשר מגדירים: <math>{n\choose k} = C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!} </math>.
=== <math> \prod</math> סימון לכפל ===
נניח שנתונים לנו n איברים <math>x_1, x_2,x_3, .... x_n</math>, ואנחנו רוצים לחשב את המכפלה של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא: <math>\prod_{i=1}^n x_i =x_1\times x_2\times x_3\times ...\times x_n</math>.
=== סימן ההגדרה===
אמרנו כבר, שכדי להגדיר קבוצה מספיק לרשום אותה. אולם, לעיתים נרצה להגדיר דברים אחרים - למשל, משתנים. נניח שאנו משתמשים הרבה בביטוי <math>\sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha</math>, ומעוניינים לחסוך לעצמינו את הטרחה שבכתיבת הביטוי שוב ושוב. על מנת לעשות זאת, נוכל להגדיר משתנה חדש, שיסמן עבורינו את הביטוי הנ"ל. נניח שנקרא למשתנה החדש X. נכתוב:
<math> x:=\sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha</math> </br>
או לחילופין: <math>x^\triangle _= \sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha</math></br>
או לחילופין: <math>x\equiv \sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha</math>. </br>
כאשר המשמעות היא, כאמור: X ''מוגדר להיות'' הביטוי הנ"ל. כלומר, בכל מקום שבו כתוב X, עלינו להתנהג כאילו כתוב <math>\sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha</math>.
*הערה: הסימן <math>\equiv</math> משמש גם לסימון זהות, לכן אנו נעדיף כאן את השימוש ב- <math>:=</math> או ב- <math> x^\triangle _= </math> .
==פעולות אריתמטיות על קבוצות==
| 