|
[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/אינדוקציה|אינדוקציה]]</br>
[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים|מספרים רציונליים ואי-רציונליים]]</br>
[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה|בר מניה ולא בר מניה]]</br>
[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות|קבוצות חסומות]]</br>
==מספרים רציונלים ואי-רציונלים==
===הקדמה===
ניזכר בהגדרת קבוצת המספרים הרציונליים: <math>\mathbb{Q} =\left\{ \frac{p}{q} |p,q\in\mathbb{Z} \wedge q\ne 0 \right\}</math>. כזכור, מספר יקרא "רציונלי" אם הוא שייך לקבוצה זו.</br>
<u>הגדרה</u>: עבור מספרים <u>שלמים</u> n ו- k, נגיד ש- "''k מחלק את n''", אם קיים מספר שלם l המקיים: <math>n=l\times k</math>. סימון: <math>k|n</math>.
כעת נכתוב שוב את ההגדרה, בכתיב של תורת הקבוצות:
<math> k|n \Leftrightarrow \exists l\in\mathbb{Z} : l\times k=n </math>.
*שימו לב, שכאן השתמשנו בסימן ":" עבור הביטוי "כך ש", על מנת לא להתבלבל בינו ובין סימן ה"|" עבור הביטוי "מחלק את". כמו כן, השתמשנו בסימן <math>\Leftrightarrow</math>, על מנת להראות את השקילות בין הסימון לבין ההגדרה.
<u>הגדרה</u>: ''מספרים זרים'': נתונים שני מספרים שלמים n ו- m. אם אין להם אף גורם (מחלק) משותף, נגיד שהם זרים. כלומר, אם: <math>\left( k|m \wedge k|n \right) \Rightarrow k=1</math>. </br>
<u>הגדרה</u>: כידוע, ההצגה של מספר רציונלי היא לא יחידה, למשל: <math>\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{31}{62}</math> וכולי. לכן, נולד הצורך בהגדרת ''שבר מצומצם'': המספר <math>\frac{p}{q}</math> (עבור p,q שלמים ו-<math>q\ne 0</math>) יקרא שבר מצומצם, אם p ו-q מספרים זרים.
===טענה: <math>\sqrt{2}</math> אינו רציונלי.===
====הקדמה====
<u>הגדרה:</u> מספר x יקרא ''אי רציונלי'' אם <math>x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}</math>. במילים אחרות, אם '''לא''' קיימים <math>p,q\in\mathbb{Z}</math> כך שניתן לרשום <math>x=\frac{p}{q}</math>.
טענה זו נראית אולי סתמית למדי במבט ראשון, אך למעשה חשיבותה עצומה. שכן, עד כה הסברנו אמנם מהו מספר שאינו רציונלי, אך לא הראינו שקיים כזה.</br>
האגדה מספרת על כת הפיתגוראים ביוון העתיקה, שהאמינו במספרים ועבדו אותם. המספרים היו, בעיניהם, מושלמים. יום אחד, גילה אחד מתלמידיו של פיתגורס כי קיים מספר שאינו רציונלי, הלא הוא <math>\sqrt{2}</math> ידידינו. הגילוי חולל סערה גדולה, שהרי כיצד ייתכן שבין המספרים המושלמים, שהיו שקולים לאלים, קיים מספר שאינו מושלם, כלומר אינו רציונלי? באורח פלא, זמן קצר לאחר תגלית זו נטרפה ספינתו של המגלה, ומבחינת הפיתגוראים היתה זו הוכחה לכך שהאלים נקמו את נקמתם. זאת, כמובן, אם מאמינים שהספינה אכן נטרפה בים דרך מקרה.... ונחזור למתמטיקה.</br>
<u>טענה</u>: המספר <math>\sqrt{2}</math> אינו רציונלי, כלומר <math>\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}</math>.</br>
הוכחה: לשם כך ניעזר בלֶמה (משפט עזר):
====למת עזר: אם <math>n^2</math> זוגי, אזי: n זוגי.====
''הוכחת הלמה'':</br>
יהא n מספר זוגי כלשהו, אז נוכל לרשום אותו באופן הבא: <math>n=2\times k</math>, כאשר <math>k\in\mathbb{Z}</math>. ואז: <math>n^2 =\left( 2k \right) ^2 =4k^2</math>, וכמובן ש- <math>4k^2</math> הוא מספר זוגי.
יהא כעת n מספר אי-זוגי כלשהו. אז נוכל לרשום אותו באופן הבא: <math>n=2k+1</math>, כאשר <math>k\in\mathbb{Z}</math>. ואז נקבל:
<math>n^2 = \left( 2k+1 \right) ^2 = \underbrace{ 4k^2 }_{(*)} + \underbrace{ 4k }_{(*)} +1=(**) </math></br>
כל אחד מהביטויים (*) הוא זוגי, לכן סכומם זוגי. נוסיף להם 1, ונקבל שהביטוי (**) הוא זוגי.
לכן, האפשרות היחידה עבור מספר n כלשהו להיות זוגי, הוא אם n עצמו זוגי. ▪
====הוכחת הטענה====
<u>הוכחה</u>: נניח בשלילה כי <math>\sqrt{2}\in\mathbb{Q}</math>, כלומר רציונלי, ונגיע לסתירה:</br>
<math>\Leftarrow \sqrt{2}\in\mathbb{Q}</math> ניתן לכתוב את <math>\sqrt{2}</math> כשבר מצומצם (מהגדרת <math>\mathbb{Q}</math>), כלומר: <math>\sqrt{2} = \frac{m}{n} \left( * \right)</math> עבור m,n שלמים כלשהם. נעלה כעת את הביטוי (*) בריבוע. נקבל:
<math>\left( \sqrt{2} \right) ^2 = 2=\left( \frac{m}{n} \right) ^2 =\frac{m^2}{n^2}</math>.
<math> (**) 2n^2 = m^2 \Leftarrow</math>
<math> m^2 \Leftarrow</math> מספר זוגי
<math> m \Leftarrow</math> מספר זוגי (לפי הלמה) <math>\Leftarrow</math> נוכל לכתוב: m=2p (עבור <math>p\in\mathbb{Z}</math> מסויים). כעת, נרשום את הביטוי האחרון (**) באופן הבא: <math>2n^2 =m^2 = \left( 2p \right) ^2 =4p^2 </math>
<math>\not 2 n^2 =_2\not 4 p^2\Leftarrow</math>
<math>n^2 = 2p^2 \Leftarrow </math>
<math> n^2 \Leftarrow</math> מספר זוגי
<math> n \Leftarrow</math> מספר זוגי! (לפי הלמה).
<u>''אבל''</u>: הסקנו מוקדם יותר ש- m הוא מספר זוגי, וכעת הסקנו ש- n הוא מספר זוגי, וזוהי סתירה להנחה ש- <math>\frac{m}{n}</math> שבר מצומצם! <math>\sqrt 2 \Leftarrow</math> אינו מספר רציונלי, והטענה הוכחה. ▪
==הנושא הבא==
| 