חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 41:
<u>''אבל''</u>: הסקנו מוקדם יותר ש- m הוא מספר זוגי, וכעת הסקנו ש- n הוא מספר זוגי, וזוהי סתירה להנחה ש- <math>\frac{m}{n}</math> שבר מצומצם! <math>\sqrt 2 \Leftarrow</math> אינו מספר רציונלי, והטענה הוכחה. ▪
==הקבוצות <math>\mathbb{R}</math> ו- <math>\mathbb{Q}</math>: תכונות והבדלים==
===הקדמה===
כזכור, <math>\mathbb{Q}</math> הינה קבוצת המספרים הרציונליים, ו- <math>\mathbb{R}</math> הינה קבוצת המספרים הממשיים, או "כל המספרים". נגדיר כעת את קבוצת המספרים האי-רציונלים: <math>\mathbb{R} \backslash\mathbb{Q} = \left\{ x|x\in\mathbb{R} \wedge x\not\in\mathbb{Q} \right\} </math>. אז כמו שהוכחנו למעלה, <math>\sqrt{2}</math> שייך לקבוצה זו, כלומר <math>\sqrt{2} \in\mathbb{R} \backslash\mathbb{Q}</math>.</br>
<u>הגדרה</u>: ''פונקצית הערך השלם''
<math> \left[ x \right] </math> = הערך השלם הגדול ביותר שנמצא במספר x, כלומר שקטן ממנו/שווה לו ממנו. ומתקיים: <math>x\in\mathbb{Z}</math>. יש המסמנים: <math>\lfloor x \rfloor </math>, על מנת להדגיש את העובדה שמדובר במספר שהוא ''קטן'' מ-x (או שווה לו).</br>
דוגמאות: <math> \left[ 2.32 \right] = 2, \left[ -2.32 \right] =-3, \left[ 2.9999 \right] =2, \left[ 2 \right] =2, \left[ -5.43 \right] = 6 </math>.
מתקיים: <math> \left[ x \right] \le x \le \left[ x+1 \right] </math>.
===משפט: צפיפות המספרים הרציונלים והאי-רציונליים===
*<u>משפט</u>: בין כל שני מספרים שונים קיים מספר רציונלי ו''גם'' מספר אי-רציונלי.
*<u>למת עזר</u>: נתון <math> c>0 </math> כלשהו.
<u>אזי</u>: קיים <math>n\in\mathbb{N}</math>, כך ש- <math> 0<\frac{1}{n} <c </math>.</br>
טענת הלמה בכתיב מתמטי: <math> \left( \forall \left( c>o \right) \in \mathbb{R} \right) \left( \exists n\in\mathbb{N} \right) | 0<\frac{1}{n} <c </math>.</br>
<u>הוכחת הלמה</u>: נתון כלשהו, ונגדיר עבורו את המספר הבא: . הוא שלם חיובי .
מתקיים : .
נזכור ש- c היה מספר חיובי כלשהו, לכן קיבלנו שלכל c כנ"ל קיים כנדרש, והטענה הוכחה. ▪
נעבור כעת להוכחת המשפט:
נתונים לנו שני מספרים a,b כך ש- , ונוכיח שקיים ביניהם גם מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי:
נבחר המקיים: (קיים כזה לפי הלמה).
נבחר , כך ש- m הוא השלם הקטן ביותר המקיים: , כלומר כך שמתקיים: .
ונרשום: . מתקיים:
(ביחד עם מתחילת ההוכחה) ¬ומצאנו מספר רציונלי כנדרש.
| |||