חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Superot (שיחה | תרומות)
Superot (שיחה | תרומות)
שורה 53:
<u>אזי</u>: קיים <math>n\in\mathbb{N}</math>, כך ש- <math> 0<\frac{1}{n} <c </math>.</br>
טענת הלמה בכתיב מתמטי: <math> \left( \forall \left( c>o \right) \in \mathbb{R} \right) \left( \exists n\in\mathbb{N} \right) | 0<\frac{1}{n} <c </math>.</br>
<u>הוכחת הלמה</u>: נתון כלשהו, ונגדיר עבורו את המספר הבא: . הוא שלם חיובי .
מתקיים : .
נזכור ש- c היה מספר חיובי כלשהו, לכן קיבלנו שלכל c כנ"ל קיים כנדרש, והטענה הוכחה. ▪
נעבור כעת להוכחת המשפט:
נתונים לנו שני מספרים a,b כך ש- , ונוכיח שקיים ביניהם גם מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי:
נבחר המקיים: (קיים כזה לפי הלמה).
נבחר , כך ש- m הוא השלם הקטן ביותר המקיים: , כלומר כך שמתקיים: .
ונרשום: . מתקיים:
(ביחד עם מתחילת ההוכחה) ¬ומצאנו מספר רציונלי כנדרש.