חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 53:
<u>אזי</u>: קיים <math>n\in\mathbb{N}</math>, כך ש- <math> 0<\frac{1}{n} <c </math>.</br>
טענת הלמה בכתיב מתמטי: <math> \left( \forall \left( c>o \right) \in \mathbb{R} \right) \left( \exists n\in\mathbb{N} \right) | 0<\frac{1}{n} <c </math>.</br>
<u>הוכחת הלמה</u>: נתון <math>c\in\mathbb{R} ^+ </math> כלשהו, ונגדיר עבורו את המספר הבא: <math>n= \left[ \frac{1}{c} \right] +1 </math>. נתון ש- <math> c>0 </math>, לכן <math>\left[ \frac{1}{c} +1 \right] </math> הוא שלם חיובי <math> n\in\mathbb{N} \Leftarrow </math>.</br>
מתקיים: <math>\frac{1}{c} <\left[ \frac{1}{c} \right] +1=n</math>
<math>\frac{1}{c} <n \Leftarrow </math>
<math>\frac{1}{n} <c \Leftarrow </math>. </br>
<center>[[תמונה:P1fst.jpg|תרשים להמחשה - הנקודות הנ"ל על ציר המספרים]]</center>
נזכור ש- c היה מספר חיובי כלשהו, לכן קיבלנו שלכל c כנ"ל קיים <math> n\in\mathbb{N} </math> כנדרש, והטענה הוכחה. ▪</br>
|