חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 60:
נזכור ש- c היה מספר חיובי כלשהו, לכן קיבלנו שלכל c כנ"ל קיים <math> n\in\mathbb{N} </math> כנדרש, והטענה הוכחה. ▪</br>
נעבור כעת להוכחת המשפט:
נתונים לנו שני מספרים a,b כך ש- <math>a<b</math>, ונוכיח שקיים ביניהם גם מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי:</br>
נבחר <math>n\in\mathbb{R}</math> המקיים:
<math> 0<\frac{1}{n} <b-a </math> (קיים כזה לפי הלמה).</br>
נבחר <math>m\in\mathbb{Z}</math>, כך ש- m הוא השלם <u> הקטן ביותר </u> המקיים: <math> a<\frac{m}{n} </math> (*), כלומר כך שמתקיים:
<math> \frac{m-1}{n} <a< \frac{m}{n} </math>. ונרשום:
<math> \frac{m}{n} = \frac{m}{n} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{m-1}{n} + \frac{1}{n} </math>. מתקיים:</br>
<math> \left\{ \begin{matrix} \frac{m-1}{n} <a \\ \frac{1}{n} <b-a \end{matrix} \right. \Rightarrow \frac{m-1}{n} + \frac{1}{n} <a+(b-a) =b \Rightarrow \frac{m}{n} <b </math>
</br>
[[תמונה:P2fst.jpg]]
</br>
(ביחד עם (*) מתחילת ההוכחה) <math> a<\frac{m}{n}<b \Leftarrow </math> ומצאנו מספר רציונלי כנדרש.</br>
על מנת למצוא מספר אי-רציונלי נחזר על התהליך, רק עם <math>\frac{\sqrt{2}}{n} </math> במקום <math> \frac{1}{n} </math>: נבחר n כך שיתקיים: <math> 0<\frac{\sqrt{2}}{n} <b-a </math>. קיים n כזה, משום שלפי הלמה קיים n המקיים <math>0<\frac{1}{n} <c </math> <u>לכל </u> c, לכן גם עבור <math>c= \frac{b-a}{2} </math>. ואז: <math> 0<\frac{1}{n}<\frac{b-a}{\sqrt{2}} </math> <math> 0<\frac{\sqrt{2}}{n}<{b-a} \Leftarrow </math>.</br>
ושוב: נבחר <math>m\in\mathbb{N}</math> כך ש- <math>\frac{\sqrt{2}(m-1)}{n} <a< \frac{\sqrt{2} m}{n} </math> וכולי... והטענה הוכחה. ▪</br>
===הערות ותוספות===
<u>הערות</u>:
*הציור המצורף להוכחה, כמו גם הציור שבהוכחת הלמה, נראים לכאורה פשוטים, ועל פניו אין בהם צורך. עם זאת, הניסיון מלמד כי גם במקרים בהם הציורים נראים פשוטים, עדיין מוטב להשתמש בהם על מנת להגיע להבנה טובה יותר של החומר. הדבר חשוב במיוחד בהוכחות. בכלל, הוכחות הן לב-ליבה של המתמטיקה, ומי שמבין אותן על בורין ידע מתמטיקה היטב.
*נשים לב, שבניסוח המשפט למעלה כתוב "בין כל שני מספרים שונים", ואילו בהוכחה עצמה נתנו להם שמות (a ו-b), ואף טענו ש- <math>a<b</math>. על סמך מה טענו זאת?
:הבה נבדוק: נניח שהיינו חוזרים על ההוכחה עבור <math>b<a</math>. האם מהלך ההוכחה היה שונה? האם המסקנה (שהמשפט אכן מתקיים) היה שונה? התשובה לכך היא לא ולא. ומדוע? משום שבמקרה זה, a ו-b הם מספרים כללים כלשהם, ולא הוטלו עליהם כל הגבלות. לכן, מותר לנו להניח ש- <math>a<b</math>, והנחה זו אינה גורעת מכלליות המספרים.
:במקרה כזה, נהוג לכתוב: "נניח '''''בלי הגבלת הכלליות''''' ש- <math>a<b</math>", או בקיצור - בה"כ.
*דוגמה נוספת לשימוש בביטוי בה"כ: נניח שנתונה לנו קבוצה של מספרים <math< \left\{ x_1, x_2, x_3, \cdots ,\x_n \right} </math>, וידוע לנו שאחד מה-x-ים (כלומר מהמספרים) הוא זוגי. אז ברור שאין שום חשיבות לאינדקס של אותו ה-x (זה יכול להיות <math>x_1, x_2, x_17, x_225 </math> וכולי). לכן, במקרה זה מותר לנו לכתוב "נניח בה"כ ש- <math> x_1</math> זוגי".
| |||