חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Superot (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
Superot (שיחה | תרומות)
שורה 83:
:הבה נבדוק: נניח שהיינו חוזרים על ההוכחה עבור <math>b<a</math>. האם מהלך ההוכחה היה שונה? האם המסקנה (שהמשפט אכן מתקיים) היה שונה? התשובה לכך היא לא ולא. ומדוע? משום שבמקרה זה, a ו-b הם מספרים כללים כלשהם, ולא הוטלו עליהם כל הגבלות. לכן, מותר לנו להניח ש- <math>a<b</math>, והנחה זו אינה גורעת מכלליות המספרים.
:במקרה כזה, נהוג לכתוב: "נניח '''''בלי הגבלת הכלליות''''' ש- <math>a<b</math>", או בקיצור - בה"כ.
*דוגמה נוספת לשימוש בביטוי בה"כ: נניח שנתונה לנו קבוצה של מספרים <math<> \left\{ x_1, x_2, x_3, \cdots ,\x_n \right\} </math>, וידוע לנו שאחד מה-x-ים (כלומר מהמספרים) הוא זוגי. אז ברור שאין שום חשיבות לאינדקס של אותו ה-x (זה יכול להיות <math>x_1, x_2, x_17x_{17}, x_225x_{225} </math> וכולי). לכן, במקרה זה מותר לנו לכתוב "נניח בה"כ ש- <math> x_1</math> זוגי".
</br>
<u>הגדרה</u>: נתונות שתי קבוצות מספרים כלשהן A,B. קבוצה A תקרא "''צפופה'' (deude) ב-B", אם בין כל שניים מאיברי B קיים איבר השייך לקבוצה A.</br>
<u>מסקנה</u>: המספרים הרציונלים/האי-רציונלים צפופים (deude) ב- <math>\mathbb{R}</math>. </br>
<u>מסקנה מהמשפט</u>: בין כל שני מספרים שונים כלשהם, קיימים <u>אינסוף</u> מספרים רציונלים ו<u>אינסוף</u> מספרים אי-רציונלים.
 
 
הנושא הבא בתורת הקבוצות: [[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה|בר מניה ולא בר מניה]]