מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/אינדוקציה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 4:
*דוגמה לשימוש באינדוקציה: נוכיח את ה'''''טענה''''' הבאה: <math>\forall n\in\mathbb{N} , \sum_{k=1}^{n} \left( 2\times k-1 \right) =n^2</math>.
'''''הוכחה''''': נוכיח, כאמור, באינדוקציה.</br>
<u>שלב א'</u>: ''בסיס האינדוקציה'': נבדוק את נכונות הטענה עבור
<math>\sum_{k=1}^n \underbrace{ = }_{*} \sum_{k=1}^1 \left( 2\times k-1 \right) =2\times 1-1=1=n^2</math>.
כאשר בשלב * אנו מציבים <math>\ n=1 </math>. כלומר, אנו רואים ש-
<u>שלב ב'</u>: ''הנחת האינדוקציה'': נניח שלכל מספר הקטן מ- <math>\ n </math> מסויים, הטענה נכונה. מותר לנו להניח זאת, משום שהוכחנו שקיים מספר <math>\ \left( 1 \right) </math> שלגביו הטענה נכונה, ותמיד נוכל לטעון שאנו מתייחסים למספר זה בהנחת האינדוקציה. כלומר, הנחת האינדוקציה הינה: קיים <math>n\in\mathbb{N}</math>, כך שעבור כל <math>\ n </math> הקטן ממנו, וגם עבורו עצמו, מתקיים:
<math>\sum_{k=1}^{n-1}\left( 2\times k-1 \right) = \left( n-1 \right) ^2</math>.
(הערה: נכון הוא שהשימוש הרב באותו סימון, <math>\ n </math>, עלול להיות מבלבל. עם זאת, זוהי הדרך המקובלת לסימון, לכן כדאי שהקורא יתרגל לכך כבר בשלב זה).</br>
<u>שלב ג'</u>: ''צעד האינדוקציה'': בשלב זה נוכיח, שהנחת האינדוקציה עבור <math>\ n </math> גוררת את נכונות הטענה גם עבור
<math>\sum_{k=1}^{n-1} \left( 2\times k-1 \right) =\left( n-1 \right) ^2 \Rightarrow \sum_{k=1}^n \left( 2\times k-1 \right) = n^2</math>.
ונוכיח באופן הבא: מתקיים: <math>\sum_{k=1}^n \left( 2\times k-1 \right)=\underbrace{ \sum_{k=1}^{n-1} \left( 2\times k-1 \right) }_{ \left( * \right )} + \left( 2\times n-1 \right) </math>.
| |||