חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים: הבדלים בין גרסאות בדף

<u>הגדרה:</u> מספר <math>\ x </math> יקרא ''אי רציונלי'' אם <math>\ x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}</math>. במילים אחרות, אם '''לא''' קיימים <math>\ p,q\in\mathbb{Z}</math> כך שניתן לרשום <math>\ x=\frac{p}{q}</math>.

האגדה מספרת על כת הפיתגוראים ביוון העתיקה, שהאמינו במספרים ועבדו אותם. המספרים היו, בעיניהם, מושלמים. יום אחד, גילה אחד מתלמידיו של פיתגורס כי קיים מספר שאינו רציונלי, הלא הוא <math>\ \sqrt{2}</math> ידידינו. הגילוי חולל סערה גדולה, שהרי כיצד ייתכן שבין המספרים המושלמים, שהיו שקולים לאלים, קיים מספר שאינו מושלם, כלומר אינו רציונלי? באורח פלא, זמן קצר לאחר תגלית זו נטרפה ספינתו של המגלה, ומבחינת הפיתגוראים היתה זו הוכחה לכך שהאלים נקמו את נקמתם. זאת, כמובן, אם מאמינים שהספינה אכן נטרפה בים דרך מקרה.... ונחזור למתמטיקה.</br>

<u>טענה</u>: המספר <math>\ \sqrt{2}</math> אינו רציונלי, כלומר <math>\ \sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}</math>.</br>

הוכחה: לשם כך ניעזר בלֶמה (משפט עזר):