חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Superot (שיחה | תרומות)
Superot (שיחה | תרומות)
שורה 30:
 
===הוכחת הטענה===
<u>הוכחה</u>: נניח בשלילה כי <math>\ \sqrt{2}\in\mathbb{Q}</math>, כלומר רציונלי, ונגיע לסתירה:</br>
<math>\ \Leftarrow \sqrt{2}\in\mathbb{Q}</math> ניתן לכתוב את <math>\sqrt{2}</math> כשבר מצומצם (מהגדרת <math>\ \mathbb{Q}</math>), כלומר: <math>\ \sqrt{2} = \frac{m}{n} \left( * \right)</math> עבור <math>\ m,n </math> שלמים כלשהם. </br>
נעלה כעת את הביטוי (*) בריבוע. נקבל:
<math>\ \left( \sqrt{2} \right) ^2 = 2=\left( \frac{m}{n} \right) ^2 =\frac{m^2}{n^2}</math>.
<math>\ (**) 2n^2 = m^2 \Leftarrow</math>
<math>\ m^2 \Leftarrow</math> מספר זוגי
<math>\ m \Leftarrow</math> מספר זוגי (לפי הלמה) <math>\ \Leftarrow</math> נוכל לכתוב: <math>\ m=2p </math> (עבור <math>p\in\mathbb{Z}</math> מסויים). </br>
כעת, נרשום את הביטוי האחרון (**) באופן הבא: <math>\ 2n^2 =m^2 = \left( 2p \right) ^2 =4p^2 </math>
<math>\ \not 2 n^2 =_2\not 4 p^2\Leftarrow</math>
<math>\ n^2 = 2p^2 \Leftarrow </math>
<math>\ n^2 \Leftarrow</math> מספר זוגי
<math>\ n \Leftarrow</math> מספר זוגי! (לפי הלמה).</br>
<u>''אבל''</u>: הסקנו מוקדם יותר ש- <math>\ m </math> הוא מספר זוגי, וכעת הסקנו ש- <math>\ n </math> הוא מספר זוגי, וזוהי סתירה להנחה ש- <math>\ \frac{m}{n}</math> שבר מצומצם! <math>\ \sqrt 2 \Leftarrow</math> אינו מספר רציונלי, והטענה הוכחה. ▪
 
==הקבוצות <math>\mathbb{R}</math> ו- <math>\mathbb{Q}</math>: תכונות והבדלים==