מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 115:
<math><math>formula</math></math>===חקירת משוואות באמצעות נוסחאות וייטה===
במקרים מסויימים אנו נדרשים לקבוע את סוג הפתרונות המתקבלים ממשוואה ריבועית, כלומר לעיתים נשאל שאלות בסגנון: "עבור אילו ערכים של הפרמטר <math>\;m</math> למערכת ישנם שני פתרונות חיוביים?". במקרה זה עלינו לנצל את הידע שרכשנו בחקירת משוואה ריבועית ובידע נוסף שהוא נוסחאות וייטה. נוסחאות וייטה נותנות לנו מידע על סכום הפתרונות של משוואה ריבועית ועל מכפלת הפתרונות של משוואה ריבועית.
נזכר, אם כן, בנוסחאות וייטה. אם נתונה משוואה ריבועית:
שורה 133:
</math>
</center>
יש לציין כי הנוסחאות מתייחסות לפתרונות אשר יתקבלו מנוסחת השורשים אשר תעשה על המשוואה ההתונה.
<br />
ישנם 4 תנאים (מלבד התנאים המוזכרים למעלה: שני פתרונות, פתרון יחיד, ואין פיתרון) אשר יכולים להדלות מ-2 נוסחאות אלה:
<br />
<br />
1.שני שורשי המשוואה חיוביים:
<center>
<math>
-\frac{b}{a}>0
</math>
<br />
<br />
<math>
\frac{c}{a}>0
</math>
<br />
<br />
<math>
\;\Delta>0
</math>
</center>
<br />
<br />
2.שני שורשי המשוואה שליליים:
<center>
<math>
-\frac{b}{a}<0
</math>
<br />
<br />
<math>
\frac{c}{a}>0
</math>
<br />
<br />
<math>
\;\Delta>0
</math>
</center>
<br />
<br />
3.שני השורשים שווי סימן:
<center>
<math>
\frac{c}{a}>0
</math>
<br />
<br />
<math>
\;\Delta>0
</math>
</center>
<br />
<br />
4.שני השורשים שוני סימן:
<center>
<math>
\frac{c}{a}>0
</math>
</center>
<br />
<br />
מכאן קל לקבל כמה תנאים לגבי תכונת הסימן של הפתרונות. למשל, על מנת שלשני הפתרונות יהיו סימנים הפוכים, עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית. יש לשים לב כי אם ניתנה לנו שאלה, הדרישות שלנו על הפתרונות חייבים להיות גם מספיקים וגם הכרחיים, כלומר שאם הם מתקיימים אז תנאי השאלה מתקיימים ואם תנאי השאלה מתקיימים אז התנאים מתקיימים. כלומר, אם נתבקשנו למצוא את התנאי שנוסח כ"פתרונות המשוואה שוני סימן" הרי שאם הפתרונות שוני סימן אז ברור שמכפלתם היא שלילית, ומאידך ברור שאם מכפלתם שלילית אז הם בוודאי שוני סימן. בכל שאלה עלינו לוודא שאכן התנאי עובד לשני הכיוונים.
====דוגמה 3====
| |||