מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף

 

 

במקרים מסויימים אנו נדרשים לקבוע את סוג הפתרונות המתקבלים ממשוואה ריבועית, כלומר לעיתים נשאל שאלות בסגנון: "עבור אילו ערכים של הפרמטר <math>\;m</math> למערכת ישנם שני פתרונות חיוביים?". במקרה זה עלינו לנצל את הידע שרכשנו בחקירת משוואה ריבועית ובידע נוסף שהוא נוסחאות וייטה. נוסחאות וייטה נותנות לנו מידע על סכום הפתרונות של משוואה ריבועית ועל מכפלת הפתרונות של משוואה ריבועית.

נזכר, אם כן, בנוסחאות וייטה. אם נתונה משוואה ריבועית:

 

מכאן קל לקבל כמה תנאים לגבי תכונת הסימן של הפתרונות. למשל, על מנת שלשני הפתרונות יהיו סימנים הפוכים, עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית. יש לשים לב כי אם ניתנה לנו שאלה, הדרישות שלנו על הפתרונות חייבים להיות גם מספיקים וגם הכרחיים, כלומר שאם הם מתקיימים אז תנאי השאלה מתקיימים ואם תנאי השאלה מתקיימים אז התנאים מתקיימים. כלומר, אם נתבקשנו למצוא את התנאי שנוסח כ"פתרונות המשוואה שוני סימן" הרי שאם הפתרונות שוני סימן אז ברור שמכפלתם היא שלילית, ומאידך ברור שאם מכפלתם שלילית אז הם בוודאי שוני סימן. בכל שאלה עלינו לוודא שאכן התנאי עובד לשני הכיוונים.

====דוגמה 3====

נחזור לדוגמה הראשונה שהוצגה בסעיף זה. <math>\;m^2 x^2 + (2m-5)x+1=0</math>. עלינו למצוא עבור אילו ערכים של <math>\;m</math> למשוואה פתרונות שוני סימן. כבר הערנו שבמקרה זה עלינו לדרוש שמכפלתם תהיה שלילית, כלומר <math>x_1 \cdot x_2 <0</math> או, לפי נוסחאות וייטה