חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Superot (שיחה | תרומות)
Gadial (שיחה | תרומות)
מ תיקונים ותוספות
שורה 2:
 
==הגדרה==
<u>בר מניה</u>: קבוצה תקרא ''ברת מניה'' (או ''בת מניה'') אם ניתן למספר את אבריה באמצעות המספרים הטבעיים. כלומר, לכל איבר בקבוצה נתאים מספר טבעי כך שאין שני איברים עם אותו מספר, ולכל מספר טבעי קיים איבר שקיבל מספר זה. נשים לב כי על פי הגדרה זו קבוצות סופיות אינן יכולות להיות בנות מניה, כי יש אינסוף מספרים טבעיים ולכן תמיד יהיה מספר שלא ניתן לאף אחד מאברי הקבוצה. לפעמים מרחיבים את ההגדרה ואומרים כי קבוצה בת מניה היא קבוצה סופית או כזו שניתן למספר את איבריה בצורה שתוארה לעיל.
<u>בר מניה</u>: קבוצה תקרא ''ברת מניה'' (או ''בת מניה'') אם ניתן לסדר את כל איבריה לפי סדר מסויים, ולמנות אותם. במילים אחרות, אם <math>\ A </math> היא קבוצה בת מניה, ונתון לנו <math>\ x\in A </math> כלשהו, הרי שנוכל לדעת מיהו האיבר הבא אחריו. אם אין כזה, נוכל להגיד שאיבר זה הינו האיבר האחרון. באותה צורה, בהינתן <math>\ x\in A </math>, נוכל לדעת מיהו האיבר שלפניו, ואם אין כזה - נוכל להגיד שאיבר זה הוא הראשון.</br>
 
בלשון פורמלית יותר של תורת הקבוצות, קבוצה היא בת מניה אם קיימת פונקציה חד חד ערכית ועל מקבוצת המספרים הטבעיים אליה.
 
הדרך הנוחה ביותר להדגים התאמה בין קבוצה למספרים הטבעיים היא על ידי סידור אברי הקבוצה בסדרה. במקרה הזה האיבר הראשון בסדרה מותאם למספר 1, השני למספר 2 וכן הלאה.
==דוגמאות==
# <math>\mathbb{N} </math> הינה קבוצה ברת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי: <math>\ 1,2,3,4,5,\cdots </math>.
# <math>\mathbb{Z} </math> הינה קבוצה בת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי:<math>\ 0,1,-1,2,-2,\dots </math>. כאן התאמנו למקום מספר <math>\ n </math> בסדרה את המספר השלם <math>\ (-1)^n\cdot\left[\frac{n}{2}\right]</math>
# אם <math>\ A </math> ו-<math>\ B </math> הן קבוצות בנות-מניה, אז גם <math>\ A \cup B </math> הינה ברת-מניה. נדגים זאת: אברי <math>\ A </math> מסודרים בסדרה <math>\ a_1,a_2,a_3,\dots </math> ואברי <math>\ B </math> בסדרה <math>\ b_1,b_2,b_3,\dots </math> ולכן עבור <math>\ A\cup B</math> נבנה את הסדרה <math>\ a_1,b_1,a_2,b_2,\dots </math>. כלומר, למקומות האי זוגיים בסדרה החדשה התאמנו את אברי <math>\ A </math> ולמקומות הזוגיים את אברי <math>\ B </math>.
 
==טענות (ללא הוכחה)==
1. <math>\mathbb{Q} </math> הינה קבוצה בת-מניה.
: מדוע אנו זקוקים להוכחה עבור טענה זו? - משום שלא נתנו אף דוגמה לסידור אפשרילהתאמה של קבוצה זו! למספרים הטבעיים. </br>
2. <math>\mathbb{R} </math> <u> אינה </u> קבוצה בת- מניה.
:מדוע אנו זקוקים להוכחה עבור טענה זו? - משום שלא הוכחנו שלא קייםקיימת אףשום סידורהתאמה אפשרישל לקבוצהקבוצה זו! למספרים הטבעיים.
 
מי שמעוניין בהוכחות לטענות אלה מוזמן להסתכל ב[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/נספח|נספח]] למבוא.