חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/בר מניה ולא בר מניה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תיקונים ותוספות |
|||
שורה 2:
==הגדרה==
<u>בר מניה</u>: קבוצה תקרא ''ברת מניה'' (או ''בת מניה'') אם ניתן למספר את אבריה באמצעות המספרים הטבעיים. כלומר, לכל איבר בקבוצה נתאים מספר טבעי כך שאין שני איברים עם אותו מספר, ולכל מספר טבעי קיים איבר שקיבל מספר זה. נשים לב כי על פי הגדרה זו קבוצות סופיות אינן יכולות להיות בנות מניה, כי יש אינסוף מספרים טבעיים ולכן תמיד יהיה מספר שלא ניתן לאף אחד מאברי הקבוצה. לפעמים מרחיבים את ההגדרה ואומרים כי קבוצה בת מניה היא קבוצה סופית או כזו שניתן למספר את איבריה בצורה שתוארה לעיל.
בלשון פורמלית יותר של תורת הקבוצות, קבוצה היא בת מניה אם קיימת פונקציה חד חד ערכית ועל מקבוצת המספרים הטבעיים אליה.
הדרך הנוחה ביותר להדגים התאמה בין קבוצה למספרים הטבעיים היא על ידי סידור אברי הקבוצה בסדרה. במקרה הזה האיבר הראשון בסדרה מותאם למספר 1, השני למספר 2 וכן הלאה.
==דוגמאות==
# <math>\mathbb{N} </math> הינה קבוצה ברת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי: <math>\ 1,2,3,4,5,\cdots </math>.
# <math>\mathbb{Z} </math> הינה קבוצה בת-מניה. דוגמא לסידור אפשרי:<math>\ 0,1,-1,2,-2,\dots </math>. כאן התאמנו למקום מספר <math>\ n </math> בסדרה את המספר השלם <math>\ (-1)^n\cdot\left[\frac{n}{2}\right]</math>
# אם <math>\ A </math> ו-<math>\ B </math> הן קבוצות בנות-מניה, אז גם <math>\ A \cup B </math> הינה ברת-מניה. נדגים זאת: אברי <math>\ A </math> מסודרים בסדרה <math>\ a_1,a_2,a_3,\dots </math> ואברי <math>\ B </math> בסדרה <math>\ b_1,b_2,b_3,\dots </math> ולכן עבור <math>\ A\cup B</math> נבנה את הסדרה <math>\ a_1,b_1,a_2,b_2,\dots </math>. כלומר, למקומות האי זוגיים בסדרה החדשה התאמנו את אברי <math>\ A </math> ולמקומות הזוגיים את אברי <math>\ B </math>.
==טענות (ללא הוכחה)==
1. <math>\mathbb{Q} </math> הינה קבוצה בת-מניה.
: מדוע אנו זקוקים להוכחה עבור טענה זו? - משום שלא נתנו אף דוגמה
2. <math>\mathbb{R} </math> <u> אינה </u> קבוצה בת- מניה.
:מדוע אנו זקוקים להוכחה עבור טענה זו? - משום שלא הוכחנו שלא
מי שמעוניין בהוכחות לטענות אלה מוזמן להסתכל ב[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/נספח|נספח]] למבוא.
|