מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עליה וירידה

כעת, אחרי שאנחנו יודעים למצוא נקודות קיצון, פשוט מאוד למצוא מתי הפונקציה עולה ומתי היא יורדת.
ביודענו כי נקודות הקיצון הן מעבר מעליה לירידה, פשוט עלינו לבחון כל חלק מהפונקציה אשר בין כל 2 נקודות קיצון (או בין מינוס אינסוף עד נקודת הקציון הראשונה ומנקודת הקיצון האחרונה עד אינסוף) בנפרד, ולבדוק אם הוא מהווה עליה או ירידיה.

אז איך עושים את זה? נעשה זאת בשלבים:

• נמצא את ערכי הx של נקודות הקיצון של הפונקציה בשיטה המתוארת לעיל.
• נסדר את ערכי הx לפי סדר עולה. נניח כי נקודת הקיצון הראשונה היא $\ x_{1}$, השניה $\ x_{2}$, וכן האלה עד הנקודה האחרונה $\ x_{n}$.
• נחלק את ציר המספרים ל$\ n+1$ חלקים - ממינוס אינסוף עד ל$\ x_{1}$, מ$\ x_{1}$ עד ל$\ x_{2}$, מ$\ x_{2}$ עד $\ x_{3}$, וכן האלה... 2 החלקים האחרונים יהיו מ $\ x_{n-1}$ עד $\ x_{n}$ ומ$\ x_{n}$ עד אינסוף.
• נבדוק עבור כל נקודת קיצון, אם היא נקודת מינימום, או מקסימום עפ"י השיטה שלמדנו.
• אם נקודה היא נקודת מינימום, כלומר שהפונקציה עוברת מירידה לעלייה, אם מקסימום, אז היא עוברת מעלייה לירידה. כלומר, כל שעלינו לעשות, הוא לבדוק עבור כל חלק וחלק מציר המספרים שחילקנו, אם נקודת הקיצון שבסופו היא מינימום או מקסימום, אם הנקודה היא מינימום כלומר שכל הטווח שבין נקודת הקיצון הקודמת לזו, הוא טווח של ירידה. ואם הנקודה היא נקודת מקסימום, כלומר שכל הטווח שבין הנקודה הקודמת אליה הוא עלייה.
  • במקרה של נקודת הקיצון האחרונה, פשוט מאוד בודקים אם היא מינימום או מקסימום, אם היא מקסימום, אז כל הטווח שממנה עד אינוסף הוא ירידה. אם מינימום אז עלייה.

דוגמאות

מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $\ f(x)=x^{3}+9x^{2}+15x+7$. נפתור את התרגיל בשלבים:

• ראשית נמצא את ערכי הx של נקודות הקיצון. הדרך לא תפורט כאן, שכן זהו אינו הנושא.
• קיבלנו את 2 ערכי האיקס - $\ -1$ ו $\ -5$.
• נסדר אותם על פי הסדר בציר המספרים, ונחלק את ציר המספרים ל3 חלקים.
• קיבלנו את שלושת החלקים הבאים: טווח ראשון - $\ -\infty <x<-5$, טווח שני - $\ -5<x<-1$, וטווח אחרון - $\ -1<x<\infty$.
• נבדוק עבור כל ערך של x אם זוהי נקודת מינימום או מקסימום (הדרך לא תפורט, הסבר נכתב למעלה).
• קיבלנו שהנקודה שבה $\ x=-5$ היא נקודת מקסימום, כלומר שכל מה שלפניה הוא עלייה - הטווח הראשון (מאינסוף עד למינוס חמש) הוא תחום עליה של הפונקציה. לאחר מכן בודקים ממשיכים, ומקבלים כי הנקודה שבה $\ x=-1$ היא נקודת מינימום, כלומר שכל החלק שבינה לבין הנקודה הקודמת (מינוס חמש) הוא תחום ירידה, וממנה והאלה, עד אינסוף, התחום הוא תחום עלייה.
  • • ניתן גם במקום לבדוק אם $\ -1$ פשוט לבדוק את הנקודה הראשונה ($\ -5$ במקרה הזוה), על-פיה לכתוב אם התחום הראשון הוא עלייה או ירידה, ולאחר מכן לכתוב פשוט לסירוגין, פעם ירידה, ופעם עלייה. שכן, לא יכולות להיות 2 נקודות מקסימום או מינימום ברצף, כי אז הנקודה הראשונה מבניהן לא היתה מינימום (/מקסימום). בכל אופן, השיטה לא מומלצת, כי תמיד ישנם מקרים יוצאי דופן, למשל מקרה בו נקודה שחשבנו שהיא נקודת קיצון, היא בכלל נקודת פיתול (הסבר בהמשך), על כן, מומלצת הדרך הארוכה במקצת.
• נכתוב את התשובה שקיבלנו:
  • תחומי העלייה של הפונקציה הם $\ -\infty <x<-5$ ו- $\ -1<x<\infty$
  • תחום הירידה של הפונקציה הוא $\ -5<x<-1$.
• סיימנו את התרגיל !