מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שכתוב עד לשורשים לא כולל |
|||
שורה 1:
חוקי החשבון הינם החוקים הבסיסיים של האלגברה. חוקים אלו
בסוף כל פרק תמצאו תרגילים אשר יעזרו לכם להבין ולהשתפר ביכולתיכם האלגבריות הבסיסיות.
=חוקי פעולות החשבון=
==המספרים הנייטרליים 0 ו-1==
הרעיון של המספר 0, אף שבימינו עשוי להיראות טבעי, לא היה מקובל במתמטיקה במשך תקופה ארוכה. לדוגמה, המתמטיקאים היוונים הקדמונים לא השתמשו כלל במספר 0. מהות המספר 0 היתה נושא לדיון פילוסופי לראשונה בהודו העתיקה. את המושג של ה-0 הביאו הערבים למערב
כלומר, לכל מספר <math>\ a</math> תמיד מתקבל
<math>\ a+0=a</math>
ועל כן תפקידו כמספר נייטרלי לחיבור.
המספר 1 לא מעורר מחלוקות פילוסופיות דומות, אך גם הוא מהווה איבר נייטרלי, הפעם ביחס לפעולת הכפל: לכל מספר <math>\ a</math> נקבל תמיד <math>\ a\cdot 1=a</math>.
==חוקי החילוף של החיבור והכפל==▼
בחיבור ניתן להחליף את סדר הסכימה (את סדר החיבור) ובכך לא משתנה התוצאה. לדוגמא <math>5+2=2+5</math> ולכן לכל <math>a,b</math> מספרים מתקיים ש: <math>a+b=b+a</math>. חוק זה תקף גם לגבי כפל, אך אינו תקף לגבי חיסור או חילוק.▼
הן עבור 0 והן עבור 1 תכונות אלו נובעות מהגדרת פעולות הכפל והחיבור.
==המספר ההופכי והמספר הנגדי==
המספר הנגדי למספר
<center>
<math>\ \left(-a\right)</math>
</center>
כך שמתקיים
<center>
<math>\ a+\left(-a\right)=0</math>
</center>
מכאן קל להגיע למסקנה שהנגדי של הנגדי למספר כלשהו זה המספר עצמו כי ידוע ש
<center>
<math>\ \left(-a\right)+\left[-\left(-a\right)\right]=0</math>
</center>
וגם ידוע כמובן ש
<center>
<math>\ \left(-a\right)+a=0</math>
</center>
ומכיוון שהנגדי הוא יחיד גם ברור ש
<center>
<math>\ \left[-\left(-a\right)\right]=a</math>.
</center>
גם בפעולת הכפל קיים מספר דומה. במקרה של הכפל מכפלה במספר זה (הקרוי הופכי) מביאה לקבלת המספר 1. לכל המספרים קיים מספר הופכי פרט למספר 0 שלו אין הופכי.
שורה 38 ⟵ 39:
את המספר ההופכי אנו נסמן בעזרת קו שבר באופן הבא. אם a הוא מספר אשר שונה מ-0, אז ההופכי של a הוא המספר
<center>
<math>\ \frac{1}{a}</math>
</center>
כאשר מחלקים מספר כלשהו במספר אחר, למעשה מה שעושים זה להפיל אותו במספר ההופכי. אם כן, את פעולת החילוק נגדיר כ'''כפל בהופכי'''. כך גם נגדיר את פעולת החיסור כחיבור עם הנגדי. את החיסור של שני מספרים
<math>\ a,b</math>
נסמן כ
<center>
<math>\ a-b</math>
</center>
כאשר למעשה מה שכתוב כאן זה
<center>
<math>\ a+\left(-b\right)</math> </div>
</center>
<center>
<math>\ \frac{a}{b}=\frac{1}{b}a</math>
</center>
הסיבה שבגללה אין הופכי לאפס היא שניתן להוכיח כי <math>\ a\cdot 0=0</math> לכל מספר <math>\ a</math> (לצורך כך יש להכיר את חוק הפילוג שטרם למדנו). בשל כך, לא ייתכן שיהיה קיים מספר <math>\ a</math> כך ש-<math>\ a\cdot 0=1</math>.
מכיוון שלאפס אין הופכי, לא ניתן להגדיר חילוק באפס באותה צורה בה הוגדר החילוק עבור שאר המספרים, ולכן לרוב משאירים את תוצאת החילוק באפס בלתי מוגדרת.
חלוקה באפס עלולה לגרום לטעויות: למשל, נביט במשוואה <math>\ 0\cdot 1=0\cdot 2</math>. ברור כי היא נכונה שכן שני אגפיה שווים לאפס. אם נחלק את שני אגפי המשוואה באפס נקבל <math>\ 1=2</math> וזה בבירור לא נכון.
▲==חוקי החילוף של החיבור והכפל==
▲בחיבור ניתן להחליף את
הסיבה שהחוק אינו תקף עבור חיסור היא שבפעולת החיסור אנחנו מחברים את אחד המספרים עם הנגדי של השני, והשאלה לאיזה משני המספרים ניקח את הנגדי תלויה במיקום שלו: בחיסור אנחנו תמיד לוקחים את הנגדי של האיבר שמימין לסימן החיסור. מסיבה דומה החוק אינו תקף עבור חילוק.
==חוק הקיבוץ==
חוק
<center>
<math>\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)</math>
שורה 67 ⟵ 79:
<math>\left(ab\right)c=a\left(bc\right)</math>
</center>
בזכות קיומו של חוק זה ניתן לכתוב פשוט <math>\ a+b+c</math> או <math>\ abc</math> ללא סוגריים, וזאת למרות שפעולות החיבור והכפל הוגדרו עבור זוג של מספרים ולא עבור שלשות.
נשים לב שהחוק עוסק רק בסדר הסוגריים בפעולות '''זהות''' ועבור פעולות שונות החוק אינו נכון. למשל, <math>\ 9=(1+2)\cdot 3\ne 1+(2\cdot 3)=7</math>.
==חוק הפילוג==
חוק זה קובע קשר בין פעולות הכפל והחיבור. בעזרת חוק זה ניתן לפתוח סוגריים ולהוציא מספר מסוגריים, פעולות שנדון בהן בהמשך.
שורה 86 ⟵ 100:
=חוקי חשבון חזקות=
חזקות הן מעין הכללה של פעולת הכפל, ומאפשרות לכתוב ביטויים מסובכים בצורה פשוטה.
==סימון חזקות==
את החזקה מסמנים כמעין אינדכס עליון למספר (או משתנה). לדוגמא, אם נרצה לכתוב 3 בחזקת 5 יש לכתוב זאת כך:
<div style="text-align:center; direction:ltr;">
<math>\ 3^{5}</math>
</div>
במקרה זה נקרא את זה כ-''3 בחזקת 5''. ה-5 יקרא '''מעריך''' החזקה, ואילו ה-3 יקרא '''הבסיס''' שלה. אם המעריך הוא 2 אז אומרים '''בריבוע''' ואם הוא 3 או 4 אז אומרים בשלישית או ברביעית וכו'.
שורה 97 ⟵ 110:
==משמעות החזקה==
===חזקה עם מעריך טבעי===
אם המעריך של חזקה הוא מספר טבעי (דוגמת 1,2,3... וכו') אז נגדיר את החזקה להיות הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך. לדוגמא, אם כתוב <math>\ 3^{4}</math> אז למעשה עלינו להכפיל את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר</br>
<center>
<math>\ 3^{4}=3 \times 3 \times 3 \times 3</math>
</center>
על כן, כאשר מדובר בחזקה עם מעריך טבעי <math>\ n</math> ובסיס <math>\ a</math> נקבל </br>
<center>
<math>\ a^{n}=
\underbrace{
a\times{a}\times{a}\cdots\times{a}
}
</math></br>
<math>\ n</math> פעמים
</center>
כדוגמא נחשב כמה חזקות</br>
<center>
<math>\ 5^{3}=5\times{5}\times{5}=125</math></br>
<math>2^{8}=2\times{2}\times\cdots\times{2}=256</math></br>
<math>(-1)^{3}=(-1)\times{(-1)}\times{(-1)}=(-1)</math></br>
</center></br>
וכן הלאה.
===חזקות של המעריך 0===▼
<center>▼
</center>▼
===חזקות עם מעריך שלילי===▼
חזקות בעלות מעריך שלילי מוגדרות להיות ההופכי של חזקה דומה עם מעריך חיובי. כלומר</br>▼
<center>▼
<math>▼
a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}▼
</math>▼
</center></br>▼
אמנם כאשר המעריך שלילי אכן הגדרה זו עובדת, אך אין ליראות הכרח בכך שעל המעריך להיות שלילי. למעשה ההגדרה עובדת לכל מעריך שהוא '''נגדי''' למעריך אחר. כלומר, עבור כל מעריך <math>b</math> מתקיים הכלל</br>▼
<math>▼
a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}▼
</math>▼
==פעולות על חזקות==
===חיבור וחיסור מעריכים בחזקות===
שורה 144 ⟵ 135:
<center>
<math>
a^{2}\cdot{a}^{4}=a^{2+
</math>
</center>
שורה 158 ⟵ 149:
<math>\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}</math></br>
</center>
נשים לב שחיסור חזקות יוכל להביא לכך שהמעריך יהיה אפס או מספר שלילי. לכן נראה בהמשך כיצד ניתן להגדיר חזקות עם מעריך שאינו מספר חיובי בצורה שתהיה אחידה עם החוק שהצגנו כאן.
===חזקה של חזקה===
<center>
<math>
שורה 187 ⟵ 165:
</math>
</center>
==חזקות שאינן חיוביות==
▲===חזקות של המעריך 0===
חזקות אלו לפי ההגדרה תמיד שוות 1 לבסיס שונה מ-0. כלומר, לכל <math>\ a\ne 0</math> מתקיים <math>\ a^0=1</math>.
כדי להבין את המניע להגדרה הזו ניזכר בחוק החיסור של המעריכים. לכל <math>\ a\ne 0</math> ועבור <math>\ n>0</math> כלשהו מתקיים <math>\ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^{0}</math> והרי <math>\ \frac{a^n}{a^n}=1</math> כי המונה והמכנה שווים.
בהצדקה הזו לא ניתן להשתמש כאשר הבסיס הוא 0, ואכן לרוב הביטוי <math>\ 0^0</math> נותר בלתי מוגדר. עם זאת נוח במקרים מסויימים להגדיר אותו בתור 1 גם כן. לא נציג כאן מקרים אלו.
▲===חזקות עם מעריך שלילי===
▲חזקות בעלות מעריך שלילי מוגדרות להיות ההופכי של חזקה דומה עם מעריך חיובי. כלומר</br>
▲<center>
▲<math>
▲a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}
▲</math>
▲</center></br>
▲
▲<math>
▲a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}
▲</math>
▲</center></br>
ההצדקה להגדרה זו נובעת גם היא מחוקי החיסור של חזקות. הרי אם <math>\ a\ne 0</math> אז <math>\ a^{-b}=a^{0-b}=\frac{1}{a^b}</math> על פי הכללים שכבר למדנו.
מכיוון שלא ניתן לחלק באפס, הביטוי <math>\ 0^{-b}</math> עבור <math>\ b>0</math> איננו מוגדר.
=חזקות ושורשים=
| |||