חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 62:
</br><u>מסקנה</u>: אין לקבוצה <math>\ A </math> הנ"ל סופרמום בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math>, והטענה הוכחה.▪
==אקסיומת השלמות==
<u>אקסיומת השלמות</u>: לכל קבוצה חסומה מלעיל ב- <math>\ \mathbb{R} </math> קיים סופרמום.</br>
( <math>\ \Leftrightarrow </math> לכל קבוצה חסומה מלרע ב- <math>\ \mathbb{R} </math> קיים אינפימום).</br>
*<u>הערה</u>: ''אקסיומה'' הינה הנחת יסוד, אותה איננו מוכיחים. המתמטיקה בנויה על אקסיומות והגדרות, מהן אנו בונים משפטים והוכחות. חשוב להדגיש, שאקסיומת השלמות נובעת מהבנייה של המספרים הממשיים, שזהו נושא בו לא נעסוק בקורס זה. עוד חשוב לציין, שאקסיומה אינה תורה מסיני, והיא יכולה להשתנות בהתאם לנושא שבו אנו עוסקים. כך, למשל, בגיאומטריה האוקלידית (שהיא הגיאומטריה אותה לומדים בתיכון), האקסיומה שלנו היא "בין כל שתי נקודות עובר ישר אחד בדיוק". לעומת זאת, מי שילמד טופולוגיה יכיר גם גיאומטריות אחרות, בהן האקסיומה היא "בין כל שתי נקודות עוברים אינסוף ישרים".
<u>משפט</u> (דוגמה לשימוש באקסיומת השלמות):
לכל מספר חיובי <math>\ a </math> ולכל <math>\ n\in\mathbb{N} </math> '''''קיים''''' מספר חיובי '''''אחד ויחיד''''' <math>\ x </math>, כך שמתקיים:
<math>\ x^n=a \Leftrightarrow x=a^{\frac{1}{n}} \Leftrightarrow x=\sqrt[n]{a} </math>
שימו לב, שמשפט זה מורכב משתי טענות: טענת '''''הקיום''''', וטענת ''''' היחידות'''''. מעתה ואילך, נרשום טענות מעין אלה באופן הבא: לכל מספר חיובי <math>\ a </math> ולכל <math>\ n\in\mathbb{N} </math> '''''קיים ויחיד''''' <math>\ a </math>, כך שמתקיים...</br>
<u>הוכחה</u>:</br>
מאחר ואנו טוענים שתי טענות, נוכיח את שתיהן. לרוב, הוכחת היחידות קלה למדי, והוכחת הקיום היא זו הדורשת עבודה רבה יותר.</br>
<u>הוכחת הקיום</u>:</br>
נתון <math>\ a>0 </math>, ונתון <math>\ n\in\mathbb{N} </math>. נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\ A= \left\{ x\in\mathbb{R} ^+\cup \left\{ 0 \right\} |x^n<a \right\} </math>. (מטרתינו היא להראות שהמספר <math>\ x= \sqrt[n]{a} </math> הוא הסופרמום של קבוצה זו, בפרט מכאן ינבע שהוא קיים.)</br>
הקבוצה <math>\ A </math> לא ריקה - למשל, <math>\ 0\in A </math>.</br>
הקבוצה <math>\ A </math> חסומה מלעיל - למשל ע"י <math>\ a </math>, לכן מאקסיומת השלמות קיים לה סופרמום. נסמנו <math>\ M </math>.</br>
א) נניח ש- <math> M< \sqrt[n]{a} </math>: במקרה זה, כמו בדוגמה שראינו למעלה, ניעזר במשפט שראינו קודם: קיים <math>\ M_1 \in\mathbb{R} </math> המקיים: <math>\ M<M_1<\sqrt[n]{a}</math>
<math>\ M \ \Leftarrow </math> אינו חסם מלעיל (יש בקבוצה איבר שגדול ממנו) <math>\ M \ \Leftarrow </math> אינו קטן מ- <math>\ \sqrt[n]{a} </math>, כלומר <math>\ M \ge \sqrt[n]{a} </math>.</br>
ב) נניח ש <math>\ M<\sqrt[n]{a} </math>: ושוב, כמו בדוגמא למעלה ובהסתמך על משפט הצפיפות, קיים מספר <math>\ M_2\in\mathbb{R} </math> המקיים <math>\ \sqrt[n]{a} <M_2<M </math>
<math>\ M \ \Leftarrow </math> אינו סופרמום של <math>\ A </math> (כי קיים לקבוצה חסם מלעיל שקטן ממנו) <math>\ M\le\sqrt[n]{a} </math>.</br>
א+ב
<math>\ \left( M\le \sqrt[n]{a} \right) \wedge \left( M\ge \sqrt[n]{a} \right)\ \Leftarrow </math>
<math>\ M=\sqrt[n]{a} \ \Leftarrow </math> ▪ (לקיום)</br>
(נזכור, כבדרך אגב, ש- <math>\ M</math> ''גדול ממש'' מ-<math>\ 0 </math>, וזאת משום ש- <math>\ a</math> ''גדול ממש'' מ-<math>\ 0 </math>, לכן בין <math>\ 0 </math> לבין <math>\ M </math> יש מספר וכולי).</br>
<u>הוכחת היחידות</u>: יהיו <math>\ x_1,x_1 </math> מספרים כנ"ל, כלומר המקיימים: <math>\ \left( x_1 \right) ^n = \left( x_2 \right) ^n =a </math>, ונראה ש- <math>\ x_1=x_2 </math>:</br>
נניח בה"כ (האם אתם זוכרים מהו פירוש בה"כ, ומבינים מדוע ניתן להשתמש כאן בביטוי זה?) ש- <math>\ X_1<X_2 </math>. נעלה את הביטוי בריבוע: נזכור ששני האגפים הם חיוביים, לכן סימן אי-השיוויון נשמר. נקבל: <math>\ \left( x_1 \right) ^2< \left( x_2 \right) ^2 </math>.</br>
נכפול כעת את אגף שמאל ב- <math>\ x_1 </math>, ואת אגף ימין ב- <math>\ x_2 </math>. נקבל: <math>\ \left( x_1 \right) ^3< \left( x_2 \right) ^3 </math>.</br>
נחזור על הפעולה <math>\ n </math> פעמים, עד שלבסוף נקבל: <math>\ \left( x_1 \right) ^n< \left( x_2 \right) ^n </math>. יצאנו מהנחה הפוכה והגענו לסתירה (ר' הערה למטה) <math>\ x_1=x_2 \ \Leftarrow </math>▪ </br>
הערה: כמה מילים לגבי שיטות הוכחה:
*על פניו, הוכחה אמורה להיראות כך: נתון <math>\ p </math>, אנו רוצים להוכיח את <math>\ q </math>, כלומר אנו רוצים להוכיח: <math>\ q\Leftarrow p </math>, (כאשר p<math>\ p </math> ו-<math>\ q </math> מסמלים משפטים, טענות לוגיות וכולי). איך נעשה זאת?
לכאורה, אין פשוט מכך: נראה ש- <math>\ q </math> נובע מ- <math>\ p </math> (או ש-<math>\ p </math> גורר את <math>\ q </math>). אבל, בהוכחות כמו ההוכחה האחרונה, הראינו בעצם ששמתקיים:
<math>\ (*) \left( \sim p \right) \Leftarrow \left( \sim q \right) </math>
. כלומר: העובדה ש- <math>\ q </math> לא מתקיים גוררת את העובדה שגם <math>\ p </math> אינו מתקיים. ואם הוכחנו את <math>\ (*) </math> - סיימנו את ההוכחה. ומדוע זאת?</br>
נניח ש-<math>\ p </math> מתקיים (זהו הנתון), ונניח בשלילה ש-<math>\ q </math> לא מתקיים. אבל, לפי הטענה שהוכחה <math>\ (*) </math>, אם <math>\ q </math> לא מתקיים <math>\ p \Leftarrow</math> לא מתקיים - וזוהי סתירה לנתון ש-<math>\ p </math> כן מתקיים! לכן, הוכחת <math>\ (*) </math> שקולה להוכחת הטענה המקורית.</br>
*הוכחה בשלילה: כפי שראיתם, השתמשנו בשיטה זו רבות בפרק זה, ואתם תיתקלו בה גם בפרקים הבאים של קורס זה, ולמעשה בכל ענף במתמטיקה. שיטה זו מבוססת על ההנחה, שטענה מסויימת <math>\ p </math> יכולה או להתקיים או שלא להתקיים, ולא יתכן מצב אחר. לכן, אם אנו מניחים שהיא מתקיימת ומגיעים לסתירה, אנו יכולים להסיק שהטענה אינה מתקיימת. זוהי שיטה יעילה מאוד, ואין ספק כי היא תהיה לכם לעזר רב בהמשך.
| |||