מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 1:
[[קובץ:1-over-x.png|left|thumb|250px|דוגמא לאסימפטוטה]]
אסימפטוטות הוא תחום בהן הפונקציות אינן עוברות, כמו למשל, באזורים של [[תחום ההגדרה]]. את האסימפטוטות מחלקים לשתי קטגוריות :
*''' [[/אסימפטוטות המאונכות לציר X/]] (מקבילות לציר Y).
* [[/אסימפטוטות אופקיות (המקבילות לציר X)/]]
=סיכום שלבים=
שורה 11 ⟵ 9:
==אסיפטוטה אנכית לציר X==
# פישוט הפונקציה ככל הניתן.
# בדיקת תחום הגדרה.
# אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה.
==אסיפטוטה אופקית==
# מציאת ערך ה-X הגדול ביותר בפונקציה.
# שלושת המצבים :
#* '''y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)-''' כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
#* '''אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-'''כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
#*''' אסיפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה -''' אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
# רשימת הערכים בהם :
#* <math>\lim_{X \to \infty}</math>.
#* <math>\lim_{X \to -\infty}</math>.
# בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות y אסימפטוטת בפונקציה.
==התנהגות==
{{הגדרה|תוכן=
התנהגות פונקציה בסביבה בה יש אסימפטוטה : ערך x של הפונקציה שואף להיות אינסוף (או למינוס אינסוף). כלומר, הפונקציה תרצה להיות הכי קרובה שהיא יכולה אסימפטוטה, לכן היא שואפת להיות במרחק של אינסוף.
}}
==דוגמה==
{{להשלים}}
{{עריכה}}
ניקח את הפונקציה <math>y=\frac{x^2+5x}{x^2+x-20}</math> ונבדוק בה אסימפטוטות אנכיות ואופקית.
===פישוט ותחום הגדרה===
כדי להקל על מציאת תחום ההגדרה והשימוש בפונקציה בהמשך, נפשט את הפונקציה. כאן הפישוט ייעשה על ידי הוצאת גורם משותף במונה ופירוק הטרינום במכנה.
<center><math>y=\frac{x(x+5)}{(x-4)(x+5)}</math></center>
אחרי הפירוק קל מאוד לראות שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא <math>x\neq4, x\neq-5</math>.
===אסימפטוטה אנכית וחור===
מהן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה? מכיוון שפירקנו גם את המונה, קל לראות מיידית שרק <math>x=4</math> הוא אסימפטוטה, לעומת <math>x=-5</math> שהוא חור, כי הוא מאפס גם את המונה.
כעת נבדוק (בעזרת הטבלה) לאן שואפת הפונקציה (לאלו ערכי y) בסביבת האסימפטוטה שגילינו.
===גזירה===
לצורך הצבת ערכים מתאימים בטבלה עלינו להציב גם את נקודות הקיצון של הפונקציה בטבלה, כך שלא נטעה ונבחר נקודה שבינה לבין האסימפטוטה יש נקודת קיצון, מה שיגרום לנו לטעות לגבי כיוון הפונקציה באזור האסימפטוטה.
לשם כך נגזור את הפונקציה על פי הנוסחה לגזירת מנת פונקציות (ונפשט להקלת השימוש בהמשך).
<center><math>\begin{align}y' &=\dfrac{(x^2+5x)'(x^2+x-20)-(x^2+5x)(x^2+x-20)'}{(x^2+x-20)^2} \\ &=\dfrac{(2x+5)(x^2+x-20)-(x^2+5x)(2x+1)}{(x^2+x-20)^2} \\ &=\dfrac{2x^3+5x^2+2x^2+5x-40x-100-2x^3-x^2-10x^2-5x}{(x^2+x-20)^2} \\ &=\dfrac{-4x^2-40x-100}{(x^2+x-20)^2} \\ &=\dfrac{-4(x^2+10x+25)}{(x^2+x-20)^2} \\ &=\dfrac{-4(x+5)^2}{(x^2+x-20)^2} \end{align}</math></center>
===נקודות קיצון===
אחרי הפישוט, קל מאוד למצוא את נקודות הקיצון:
<center><math dir=ltr>y'=0</math><br /><math> \Updownarrow </math><br /><math> \frac{-4(x+5)^2}{(x^2+x-20)^2}=0</math><br /><math> \Updownarrow </math><br /><math>-4(x+5)^2=0</math><br /><math> \Updownarrow </math><br /><math>(x+5)^2=0</math><br /><math> \Updownarrow </math><br /><math>x=-5</math></center>
אם כן גילינו נקודת קיצון אפשרית אחת.
בשיטה הקלאסית היינו גוזרים את הפונקציה שנית כדי לגלות אם זו אכן נקודת קיצון או רק נקודת פיתול, אבל כעת כשממילא נשתמש בטבלה, הדבר מיותר, כפי שנראה.
===בניית הטבלה===
[[קטגוריה : מתמטיקה
| |||