חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/נספח: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 9:
==הוכחת הטענה: <math>\ \mathbb{R} </math> אינה קבוצה בת מניה==
<u>הוכחה</u>: מספיק שנוכיח עבור קטע קטן מ- <math>\ \mathbb{R} </math> (שהרי אם קטע מקבוצה מסויימת אינו בר מניה, ודאי
נניח בשלילה ש- <math>\mathbb{R} </math> הינו בר-מניה. כלומר, נוכל לסדר את האיברים בשורה: <math>\ a^1,a^2,a^3\cdots </math> (כאשר המספרים <math>\ 1,2,3 </math> אינם מציינים חזקה, אלא את מיקום המספר בשורה). ונוכיח שקיים מספר אחד לפחות בקטע <math>\ \left( 0,1 \right) </math> שאינו ברשימה. נרשום כל אחד מהמספרים שברשימה <math>\ a^i </math> בצורה עשרונית: (המספרים
<center><math>\ a^1=0.b^1_1b^1_2b^1_3b^1_4b^1_5b^1_6b^1_7\cdots </math></center>
שורה 26:
וכאמור למעלה: <math>\ \left( 0,1 \right) \in\mathbb{R} </math> ואינו בר מניה <math>\ \mathbb{R} \ \Leftarrow </math> כולו אינו בר-מניה.</br> ▪
<u>הערות</u>:
*שיטה זו (בה הוכחנו ש- <math>\ \mathbb{R} </math> אינו בן-מניה) נקראת שיטת האלכסון של קנטור, ע"ש קנטור ממציא השיטה ומשום שבשיטה זו אנו יוצרים איבר חדש, השונה
*אנחנו מתבססים ללא הוכחה על העובדה שכל מספר ממשי ניתן להצגה לכל היותר בשתי צורות כפיתוח עשרוני, והמספרים היחידים שניתנים להצגה כפולה שכזו הם מספרים שנגמרים ב-<math>\ 999\dots</math> בהצגה אחת וב-<math>\ 000\dots</math> בשנייה. בבירור המספר שבנינו אינו כזה, ולכן אין חשש שבנינו את אחד מהמספרים שכן הופיעו ברשימה בצורה שלו שלא הופיעה ברשימה.
*עוד על קבוצות בנות-מניה ושאינן בנות מניה, על שיטת האלכסון של קנטור ועוד - בקורס [[תורת הקבוצות]].
| |||