חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף

נתון <math>\ a>0 </math>, ונתון <math>\ n\in\mathbb{N} </math>. נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\ A= \left\{ x\in\mathbb{R} ^+\cup \left\{ 0 \right\} |x^n<a \right\} </math>. (מטרתינומטרתנו היא להראות שהמספר <math>\ x= \sqrt[n]{a} </math> הוא הסופרמום של קבוצה זו, בפרט מכאן ינבע שהוא קיים.)</br>

הקבוצה <math>\ A </math> חסומה מלעיל - למשל ע"י <math>\ a+1 </math>, לכן מאקסיומת השלמות קיים לה סופרמום. נסמנו <math>\ M </math>.</br>

א) נניח ש- <math>\ M^n< \sqrt[n]{a} </math>: במקרה זה, כמו בדוגמה שראינו למעלה, ניעזר במשפט שראינו קודם: קיים <math>\ M_1 \in\mathbb{R} </math> המקיים: <math>\ M^n<M_1^n<\sqrt[n]{a}</math>

<math>\ M \Leftarrow M<M_1 \ \Leftarrow </math> אינו חסם מלעיל (יש בקבוצה איבר שגדול ממנו) <math>\ M^n \ \Leftarrow </math> אינו קטן מ- <math>\ \sqrt[n]{a} </math>, כלומר <math>\ M^n \ge \sqrt[n]{a} </math>.</br>

ב) נניח ש <math>\ M<\sqrt[^n]{>a} </math>: ושוב, כמו בדוגמא למעלה ובהסתמך על משפט הצפיפות, קיים מספר <math>\ M_2\in\mathbb{R} </math> המקיים <math>\ \sqrt[n]{a} <M_2^n<M^n </math>

<math>\ M\Leftarrow M_2<M \ \Leftarrow </math> אינו סופרמום של <math>\ A </math> (כי קיים לקבוצה חסם מלעיל שקטן ממנו) <math>\ M^n\le\sqrt[n]{ a} </math>.</br>

<math>\ \left( M^n\le \sqrt[n]{a} \right) \wedge \left( M^n\ge \sqrt[n]{a} \right)\ \Leftarrow </math>

<math>\ M=\sqrt[^n]{=a} \ \Leftarrow </math> ▪ (לקיום)</br>

(נזכור, כבדרך אגב, ש- <math>\ M</math> ''גדול ממש'' מ-<math>\ 0 </math>, וזאת משום ש- <math>\ a</math> ''גדול ממש'' מ-<math>\ 0 </math>, לכן בין <math>\ 0 </math> לבין <math>\ M </math> יש מספר וכולי).</br>

נניח בה"כבלי הגבלת הכלליות (האם אתם זוכרים מהו פירוש בה"כ,בלי הגבלת הכלליות" ומבינים מדוע ניתן להשתמש כאן בביטוי זה?) ש- <math>\ X_1x_1<X_2x_2 </math>. נעלה את הביטוי בריבוע: נזכור ששני האגפים הם חיוביים, לכן סימן אי-השיוויון נשמר. נקבל: <math>\ \left( x_1 \right) ^2< \left( x_2 \right) ^2 </math>.</br>

וזהו, סיימנו את פרק המבוא!!!. כדי לתרגל, אתם מוזמנים להיכנס ל[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגולים|תרגולים]] על מנת לעכל את החומר טוב יוריותר. לאחר מכן, תוכלו לנסות לפתור בעצמכם את ה[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגילים|תרגילים לעבודה עצמית]], על מנת לתרגל את החומר.