חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף

מ
←‏אקסיומת השלמות: - תיקון ההוכחה ועוד כמה דברים
מ (←‏אקסיומת השלמות: - תיקון ההוכחה ועוד כמה דברים)
<u>אקסיומת השלמות</u>: לכל קבוצה חסומה מלעיל ב- <math>\ \mathbb{R} </math> קיים סופרמום.</br>
( <math>\ \Leftrightarrow </math> לכל קבוצה חסומה מלרע ב- <math>\ \mathbb{R} </math> קיים אינפימום).</br>
*<u>הערה</u>: בהקשר הנוכחי של הדיון, ''אקסיומה'' היא תכונה בסיסית שאנו מצפים מקבוצת המספרים הממשיים לקיים. עם זאת, איננו מניחים כהנחת יסוד שהתכונה מתקיימת והיא ניתנת להוכחה בהתבסס על הצורה שבה הוגדרו המספרים הממשיים. יש שתי דרכים לבנית המספרים הממשיים תוך שימוש במספרים הרציונליים ושתיהן מניבות את אותה קבוצה. הדרך האחת משתמשת באובייקטים הנקראים '''חתכי דדקינד''' והשנייה מתבססת על מושג שנקרא '''סדרת קושי'''. בהמשך הקורס נלמד על סדרות קושי, אך לא ניכנס לשימוש בהן לבניית הממשיים, שדורש בסיס רחב מעט יותר בתורת הקבוצות.
*<u>הערה</u>: ''אקסיומה'' הינה הנחת יסוד, אותה איננו מוכיחים. המתמטיקה בנויה על אקסיומות והגדרות, מהן אנו בונים משפטים והוכחות. חשוב להדגיש, שאקסיומת השלמות נובעת מהבנייה של המספרים הממשיים, שזהו נושא בו לא נעסוק בקורס זה. עוד חשוב לציין, שאקסיומה אינה תורה מסיני, והיא יכולה להשתנות בהתאם לנושא שבו אנו עוסקים. כך, למשל, בגיאומטריה האוקלידית (שהיא הגיאומטריה אותה לומדים בתיכון), האקסיומה שלנו היא "בין כל שתי נקודות עובר ישר אחד בדיוק". לעומת זאת, מי שילמד טופולוגיה יכיר גם גיאומטריות אחרות, בהן האקסיומה היא "בין כל שתי נקודות עוברים אינסוף ישרים".
 
<u>משפט</u> (דוגמה לשימוש באקסיומת השלמות):
מאחר ואנו טוענים שתי טענות, נוכיח את שתיהן. לרוב, הוכחת היחידות קלה למדי, והוכחת הקיום היא זו הדורשת עבודה רבה יותר.</br>
<u>הוכחת הקיום</u>:</br>
נתון <math>\ a>0 </math>, ונתון <math>\ n\in\mathbb{N} </math>. נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\ A= \left\{ x\in\mathbb{R} ^+\cup \left\{ 0 \right\} |x^n<a \right\} </math>. (מטרתינומטרתנו היא להראות שהמספר <math>\ x= \sqrt[n]{a} </math> הוא הסופרמום של קבוצה זו, בפרט מכאן ינבע שהוא קיים.)</br>
הקבוצה <math>\ A </math> לא ריקה - למשל, <math>\ 0\in A </math>.</br>
הקבוצה <math>\ A </math> חסומה מלעיל - למשל ע"י <math>\ a+1 </math>, לכן מאקסיומת השלמות קיים לה סופרמום. נסמנו <math>\ M </math>.</br>
א) נניח ש- <math>\ M^n< \sqrt[n]{a} </math>: במקרה זה, כמו בדוגמה שראינו למעלה, ניעזר במשפט שראינו קודם: קיים <math>\ M_1 \in\mathbb{R} </math> המקיים: <math>\ M^n<M_1^n<\sqrt[n]{a}</math>
<math>\ M \Leftarrow M<M_1 \ \Leftarrow </math> אינו חסם מלעיל (יש בקבוצה איבר שגדול ממנו) <math>\ M^n \ \Leftarrow </math> אינו קטן מ- <math>\ \sqrt[n]{a} </math>, כלומר <math>\ M^n \ge \sqrt[n]{a} </math>.</br>
ב) נניח ש <math>\ M<\sqrt[^n]{>a} </math>: ושוב, כמו בדוגמא למעלה ובהסתמך על משפט הצפיפות, קיים מספר <math>\ M_2\in\mathbb{R} </math> המקיים <math>\ \sqrt[n]{a} <M_2^n<M^n </math>
<math>\ M\Leftarrow M_2<M \ \Leftarrow </math> אינו סופרמום של <math>\ A </math> (כי קיים לקבוצה חסם מלעיל שקטן ממנו) <math>\ M^n\le\sqrt[n]{ a} </math>.</br>
א+ב
<math>\ \left( M^n\le \sqrt[n]{a} \right) \wedge \left( M^n\ge \sqrt[n]{a} \right)\ \Leftarrow </math>
<math>\ M=\sqrt[^n]{=a} \ \Leftarrow </math> ▪ (לקיום)</br>
(נזכור, כבדרך אגב, ש- <math>\ M</math> ''גדול ממש'' מ-<math>\ 0 </math>, וזאת משום ש- <math>\ a</math> ''גדול ממש'' מ-<math>\ 0 </math>, לכן בין <math>\ 0 </math> לבין <math>\ M </math> יש מספר וכולי).</br>
<u>הוכחת היחידות</u>: יהיו <math>\ x_1,x_1 </math> מספרים כנ"ל, כלומר המקיימים: <math>\ \left( x_1 \right) ^n = \left( x_2 \right) ^n =a </math>, ונראה ש- <math>\ x_1=x_2 </math>:</br>
נניח בה"כבלי הגבלת הכלליות (האם אתם זוכרים מהו פירוש בה"כ,בלי הגבלת הכלליות" ומבינים מדוע ניתן להשתמש כאן בביטוי זה?) ש- <math>\ X_1x_1<X_2x_2 </math>. נעלה את הביטוי בריבוע: נזכור ששני האגפים הם חיוביים, לכן סימן אי-השיוויון נשמר. נקבל: <math>\ \left( x_1 \right) ^2< \left( x_2 \right) ^2 </math>.</br>
נכפול כעת את אגף שמאל ב- <math>\ x_1 </math>, ואת אגף ימין ב- <math>\ x_2 </math>. נקבל: <math>\ \left( x_1 \right) ^3< \left( x_2 \right) ^3 </math>.</br>
נחזור על הפעולה <math>\ n </math> פעמים, עד שלבסוף נקבל: <math>\ \left( x_1 \right) ^n< \left( x_2 \right) ^n </math>. יצאנו מהנחה הפוכה והגענו לסתירה (ר' הערה למטה) <math>\ x_1=x_2 \ \Leftarrow </math>▪ </br>
 
 
וזהו, סיימנו את פרק המבוא!!!. כדי לתרגל, אתם מוזמנים להיכנס ל[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגולים|תרגולים]] על מנת לעכל את החומר טוב יוריותר. לאחר מכן, תוכלו לנסות לפתור בעצמכם את ה[[חשבון אינפיטיסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגילים|תרגילים לעבודה עצמית]], על מנת לתרגל את החומר.
 
הנושא הבא: [[חשבון אינפיטיסימלי/סדרות|סדרות]]. זכרו: מומלץ קודם לתרגל את מה שכבר למדתם, ורק לאחר מכן לעבור לנושא הבא!
632

עריכות