מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/שיפוע: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הועבר מנושא : משוואת הישר |
הרחבה |
||
שורה 1:
=<span style="color:BLUE;">פירוש המילה</span>=
מי שיפתח [http://he.wiktionary.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%95%D7%93_%D7%A8%D7%90%D7%A9%D7%99 מילון] ויבדוק את משמעות המילה '''שיפוע''', יגלה :<br />
'''שיפוע =''' אלכסון, קו הנוטה בזווית שאינה ישרה.
==הקשר של שיפוע לפונקציות==
לכל פונקציה יש שיפוע. שיפוע עוזר לנו לגלות את התנהגות הפונקציה, כגון :
# מתי הפונקציה עולה או יורדת?
# מהי זווית הפונקציה? כלומר, כמה חד אלכסון הפונקציה.
==הסבר המילה==
שיפוע, מבטא את "תלילות" של גרף הפונקציה. במתמטיקה מסומן באות m.
===תלילות השיפוע===
שיפוע יכול להיותר חיובי, שווה לאפס ושלילי. כאשר השיפוע חיובי :
* ככל ששיפוע הפונקציה גדול יותר, גרף הפונקציה "תלול" יותר.
* ככל שהוא קטן יותר (עד 0) הוא "מתון" יותר -
כאשר שיפוע שלילי :
* ככל שהשיפוע קטן יותר, הירידה תהיה חדה יותר.
כאשר השיפוע שווה לאפס, הפונקציה תיהיה פונקציה המקבילה לציר X.
===
# כאשר ה'''זווית''' שבין הישר לבין ציר ה-x היא '''חדה''' (קטנה מ-90 מעלות), '''הפונקציה בעלייה''', כלומר השיפוע חיובי. בעוד שכאשר הזווית היא קהה, הפונקציה בירידה, כלומר השיפוע שלילי.
# כשאר הזווית שווה ל-180 מעלות (או 0 מעלות - זה אותו הדבר), הפונקציה מהווה ישר המקביל לציר ה-x, ובעצם אין עלייה בערכי ה-y - הפונקציה נקראת פונקציה קבועה, והשיפוע שלה שווה ל-0.
# כאשר הזווית שווה ל-90 מעלות, ניתן לראות כי ה'''ישר''' (לא פונקציה) מקביל לציר ה-y. לישר זה יש שיפוע אינסופי - הפונקציה עולה בבת אחת, בלי התקדמות בכלל בציר ה-x, באינסוף ערכי y - שיפוע כזה נקרא "שיפוע לא מוגדר".
<gallery>
תמונה:FuncionLineal02.svg|* '''פונקציה עולה (m>0) -''' כאשר m חיובי הזווית שתיווצר עם ציר ה-X תהיה חדה (דוגמא - פונקציה אדומה). <br />* '''פונקציה יורדת (m<0)-'''כאשר m שלילי הזוויות שתיווצר עם ציר ה-X תהיה קהה (דוגמא - פונקציה כחולה).
תמונה:Gráfico de uma função constante.PNG|'''פונקציה מקביל לציר <math>X</math> / פונקציה קבועה (m=0)- ''' כאשר השיפוע שווה לאפס, הישר מקביל לציר X או מלכד איתו
</gallery>
{{תיבה עם כותרת|
כותרת=שיפוע של פונקציה הוא שיפוע קבוע (אינו משתנה)|
תוכן=
על-פי המשפט הידוע לנו מהגאומטריה האוקלידית, בין 2 נקודות ניתן להעביר (קו) ישר אחד בלבד. כלומר, בהינתן לנו 2 נקודות על מערכת צירים כלשהי, ניתן להעביר דרכן ישר אחד בלבד - ישנה פונקצית ישר אחד בלבד אשר יכולה לעבור דרך 2 נקודות אלו. מכאן אפשר להסיק שביודענו 2 נקודות על גרף של פונקצית ישר, ישנו רק שיפוע אחד אפשרי.|
צבעכ=#F0F080|
צבער=#FFFFA0}}
= <span style="color:BLUE;">מציאת שיפוע על ידי 2 נקודות</span> =
דרישות :
# 2 נקודות נתונות שעל הפונקציה.
# פונקציה - ממנה נוכל למצוא 2 נקודות.
הנוסחא : <math>m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}</math>.
{{תיבה עם כותרת|
כותרת=הערה|
תוכן=
לא חובה לזכור את הנוסחה בצורה המדויקת הזו, שכן יש אפשרות לחילוף בין האברים כל עוד מחליפים גם במכנה וגם במונה. כך שניתן באופן כללי לזכור כי צריך לחלק את ההפרש בyים (לא משנה אם <math> \ y_1</math> הוא הראשון או <math> \ y_2</math>) בהפרש הxים (גם כאן לא משנה מי הראשון, פשוט להתאים באותו סדר כמו בyים).|
צבעכ=#F0F080|
צבער=#FFFFA0}}
==ערך Y ו-X==
על פי הנוסחא אפשר לראות בברור שכאשר :
* ככל שהמונה גדול מהמכנה ; ערך Y גדול מערך X - ערך השיפוע גדל.
* ככל שהמכנה גדול מהמונה ; ערך X גדול מערך Y - ערך השיפוע קטן.
==דוגמאות==
===דוגמא 1===
'''נתון''' - פונקציה ועליה שתי הנקודות הבאות :
# הנקודה <math>A(2,5)</math>
# הנקודה : <math>B (3,6)</math>
מצא את שיפוע הישר.
'''פתרון :'''
* הנוסחא : <math>m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}</math>.
* נציב את הנקודה הראשונה : <math>m = \frac{5-y_2}{2-x_2}</math>.
* נציב את הנקודה השנייה : <math>m = \frac{5-6}{2-3}</math>.
* נפתור : <math>m_{AB}=\frac{-1}{-1}=1</math>.
הפתרון : <math>m_{AB}=1</math>
== דוגמה 2 ==
מצא את השיפוע של פונקציה העוברת בנקודות <math> \ A(5,10), B(10,20)</math>.
פשוט מאוד נציב בנוסחה ונקבל את התשובה:
*<math> \ m = \frac{20 - 10}{10 - 5} = \frac{10 - 20}{5 - 10} = 2</math>.
מצא את השיפוע של פונקציה העוברת בנקודות <math> \ A(12,30), B(16,10)</math>, מה הוא סוג הזווית שבין גרף הפונקציה לבין ציר הx?.
שורה 29 ⟵ 88:
עכשיו אחרי שגילינו כי הפונקציה יורדת, אפשר בקלות לפתור את החלק השני של התרגיל - כאשר פונקציה בירידה הזווית תמיד תהיה קהה.
==דוגמא 4==
נתונה הפונקציה : <math>y=5x+2</math>. מצא את שיפוע הפונקציה על פי נוסחאת השיפוע.
פתרון :
# נציב ערכי X בפונקציה, כמו למשל : <math>X=0</math>, <math>x=1</math>
# נמצא את ערכי ה-Y שלהם על ידי הצבת ערכי X בפונקציה.
#*<math>f(1)=7</math>
#* <math>
# נציב במשוואת השיפוע : <math>m =\frac{7-2}{1-0}=5</math>
=<span style="color: BLUE;">משמעות השיפוע</span>=
{{שקול לדלג|סיבה=נושא זה יהיה מובן יותר לאחר למידת הנושא [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הפונקציות הטריגונומטריות|הפונקציות הטריגונומטריות]]}}
==הבנת הרעיון==
[[קובץ:טריגונומטריה - הפונקציות הטריגונומטריות - 1.png|left|thumb|250px|<math>tan \alpha=\frac{a}{b}</math>]]
בכדי לחשב את ערך השיפוע, אנו צריכים לדעת לחשב אלכסון. נושא [[מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הפונקציות הטריגונומטריות|הפונקציות הטריגונומטריות]], דן על חישוב אלכסון של משלוש באמצעות טנגס.
'''על פי הנושא :''' בכדי למצוא את אלכסון המשולש (שיפוע המשולש), אנו למעשה, צריכים למצוא את הזווית שיוצר האלכסון עם ציר ה-X.
לפעולה זו נבצע את התרגיל : <math>tan \alpha=\frac{a}{b}</math>
==הוכחת הנוסחא==
נחזור אל הפונקציה שלנו המצויירת על מערכת צירים.
[[תמונה:Linear Function.png|מרכז|ממוזער|200px|כפי שניתן לראות בתמונה, ניתן למצוא את שיפוע הפונקציה באמצעות "יצירת משולש" עבורו נגלה את אורכי הצלעות]]
===מציאת אורכי צלעות===
[[קובץ:Slope (m).JPG|left|thumb|250px|בניגוד למשולש שאינו נמצא על מערכת צירים, המשולש שלנו נמצא על מערכת צירים. לכן, בכדי למצוא את אורך המשולש, יש להחסיר את הערכים המיותרים]]
צלע A - '''צלע המקבילה לציר ה-y :''' בכדי למצוא את אורך הצלע אנו צריכים להחסיר בין ה-Y. כלומר, בין y אדום (מציר X ועד לנקודה האדומה) ל-y שחור (מציר ה-X ועד לנקודה השחורה), על מנת '''שישאר לנו הקטע הירוק''' (הקטע בין הנקודה האדומה לנקודה השחורה).
כלומר החלק הירוק הוא ההפרש (<math>\Delta</math>) של ה-y.
צלע B - '''צלע המקבילה לציר X :''' בכדי למצוא את אורך הצלע אנו צריכים להחסיר בין ה-X. כלומר, בין X אדום (מראשית הצירים ועד לנקודה האדומה) ל-X שחור (מראשית הצירים ועד לנקודה השחורה), על מנת '''שישאר לנו הקטע הירוק''' (הקטע בין הנקודה האדומה לנקודה השחורה).
כלומר החלק הירוק הוא ההפרש (<math>\Delta</math>) של ה-X
===הצבת הערכים במשפט טנגס===
נציב את אורכי הצלעות במשוואה <math>tan \alpha=\frac{a}{b}</math> ונמצא את זווית האלכסון; כלומר, את השיפוע שלו.
נקבל : <math>tan \alpha= \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}</math>.
שזהה לנוסחא המופשטת : <math>m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}</math>.
==ערך הזוויות ביחס לשיפוע==
* אם הזווית חדה - הפונקציה אמורה להיות בעלייה, ובהחלט, כפי הידוע לנו, טגנס של זווית חדה תמיד יהיה חיובי, כלומר שיפוע חיובי - פונקציה עולה.
* אם הזווית קהה - הפונקציה אמורה להיות בירידה, ובהחלט, כפי הידוע לנו, טגנס של זווית קהה תמיד יהיה שלילי, כלומר שיפוע שלילי - פונקציה יורדת.
* אם הזווית שווה ל90 מעלות - השיפוע אמור להיות לא מוגדר, וגם כאן, כפי הידוע לנו, טגנס של זווית ישרה הוא לא מוגדר - שיפוע לא מוגדר.
* אם הזווית שווה ל180 (או 0 - אותו הדבר) מעלות, השיפוע אמור להיות 0, וכן, טגנס של 180 מעלות הוא באמת 0.
==הזווית בין ציר ה-Y לגרף==
{{אין תמונה}}
לפעמים, במקום לתת את הזווית בין ציר ה-X לגרף הפונקציה, נותנים לנו את הזווית בין ציר ה-Y לגרף הפונקציה. בכדי למצוא את הזווית בין גרף הפונקציה לציר X נבצע את הפעולות הבאות :
* הזווית בין ציר X חציר Y שווה 90.
* החסרת מהזווית הישרה את הזווית שבין ציר Y לגרף הפונקציה.
* קבלת הנותר - הזווית בין גרף הפונקציה לציר ה-X.
ניתן גם להשתמש בקוטגנס.
==דוגמאות==
=== דוגמה 1 ===
מהו השיפוע של פונקציה שבה הזווית שבין גרף פונקצית הישר לציר הx שווה ל45 מעלות?
פשוט מאוד, נציב בנוסחה ונקבל תשובה:
*<math> \ m = tan 45^{\circ} = 1 </math>.
נתונה הפונקציה <math> \ y = 2x + 5</math>, מהי הזווית בין הגרף שלה לבין ציר הx ?
שורה 60 ⟵ 162:
ונפתור את המשוואה ע"י שימוש בארקטגנס:
*<math> \alpha = \arctan 2 = 63^{\circ}27'</math>.
[[קטגוריה : מתמטיקה לתיכון]]
[[קטגוריה : הנדסה אנליטית]]
| |||