חשבון אינפיניטסימלי/סדרות: הבדלים בין גרסאות בדף

מ
אין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
 
נסו להוכיח כי שתי הנוסחאות זהות.
 
===סדרה הנדסית===
סדרה הנדסית היא סדרה שהמנה של כל שני איברים סמוכים בה זהה. כלומר זוהי סדרה <math>\ \left\{a_n\right\}_{n=1}^{N}</math> כך ש-<math>\ \frac{a_n}{a_{n-1}}=q</math> לכל <math>\ n>1</math>, כאשר <math>\ q</math> הוא מספר קבוע המכונה '''מנת הסדרה'''.
 
בדומה לסדרה חשבונית, גם סדרה הנדסית נקבעת לחלוטין על ידי האיבר הראשון ועל ידי מנת הסדרה. ניתן להוכיח מיידית באינדוקציה כי <math>\ a_n=a_1q^{n-1}</math>.
 
נראה כיצד ניתן למצוא את סכומה של סדרה הנדסית:
 
<math>\ S_n=a_1+a_2+\dots+a_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\dots+a_1q^{n-1}=a_1(1+q+q^2+\dots+q^{n-1}</math>.
 
נותר לראות מהו ערך הסכום <math>\ (q^{n-1}+\dots+q+1</math>.
 
כאשר <math>\ q=1</math> ברור כי ערך הסכום הוא <math>\ n</math>. במקרה זה סכום הסדרה כולה הוא <math>\ n\cdot a_1</math>. זוהי סדרה "טריוויאלית" במובן זה שכל האיברים בה זהים.
 
אם <math>\ q\ne 1</math> אז נשים לב לכך שמתקיים הדבר הבא:
 
<math>\ (q^{n-1}+\dots+q+1)(q-1)=q^n-1</math> (נסו להוכיח זאת על ידי פתיחת הסוגריים) ולכן <math>\ q^{n-1}+\dots+q+1=\frac{q^n-1}{q-1}</math>.
 
קיבלנו את הסכום של סדרה הנדסית כללית:
 
*<math>\ S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}</math>
 
=מושג הגבול=
==מבוא==
ה'''גבול''' הוא המושג הבסיסי שעליו מבוסס החשבון האינפיניטסימלי. מבחינה היסטורית מושג הגבול הומצא במאה ה-19, כאשר המתמטיקאים רצו לתת ביסוס פורמלי יותר לחשבון האינפיניטסימלי, שעד אז התבסס על מושגי יסוד בעייתיים. מכיוון שזהו מושג פורמלי למדי לא קל להבין מייד את משמעותו. ננסה להציג כאן את הגישה למושג הגבול בשלבים, ואנו ממליצים כי תוודאו שאתם מבינים היטב את ההגדרה הפורמלית לפני שתמשיכו הלאה, שכן קשיים במושג זה גוררים קשיים בהמשך הלימודים.
 
מושג הגבול מוגדר רק עבור סדרות אינסופיות, ולכן מעתה נעסוק רק בסדרות שכאלה.
 
בתור דוגמה, נביט בארבע סדרות שונות:
#<math>\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots</math>. זוהי הסדרה עם האיבר הכללי <math>\ a_n=\frac{1}{n}</math>.
#<math>\ 0,0,0,\dots</math>.
#<math>\ 1,2,3,\dots</math>
#<math>\ 1,0,1,0,\dots</math>.
 
נשים לב לתכונה שמאפיינת הן את הסדרה הראשונה והן את השנייה: בשתיהן אברי הסדרה "מתקרבים" אל המספר 0. הסדרה השלישית בבירור אינה מתקרבת אל 0 אלא "מתרחקת" ממנו, ואילו הרביעית "מזגזגת" - עוברת מ-1 אל 0 ובחזרה.
 
אנחנו אומרים כי ההבדל בין שתי הסדרות הראשונות לשתי הסדרות האחרונות הוא שה'''גבול''' של שתי הסדרות הראשונות הוא 0.
 
כמובן שהגדרה זו אינה מדוייקת. מה פירוש "מתקרבים"? ננסה לחדד את הנקודה.
 
עבור הסדרה השלישית נשים לב כי המרחק של האיבר <math>\ a_n</math> מ-<math>\ 0</math> הוא <math>\ n</math>. כלומר, ככל ש-<math>\ n</math> גדול יותר, המרחק של אברי הסדרה השלישית מ-<math>\ 0</math> הולך וגדל. לעומת זאת עבור הסדרה הראשונה המרחק הוא <math>\ \frac{1}{n}</math>, ולכן מרחק זה הולך וקטן ככל ש-<math>\ n</math> הולך וגדל.
 
אם כן, אנחנו רוצים למצוא דרך לנסח בצורה פורמלית את כוונתנו ב"המרחק הולך וקטן". כמו כן נשים לב כי עבור הסדרה השנייה המרחק הוא תמיד <math>\ 0</math>, ולכן אין הכרח שהמרחק ישתנה - אבל אנחנו רוצים שהוא אפס או שילך ויקטן.
632

עריכות