משתמשת:יוני2023/it's mine/ארגז חול: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
לא גמור... |
תיקון נוסחאות |
||
שורה 14:
=תיאור הפונקציה=
קיימים שני מקרים עבור פונקציה מעריכית, אותם נבדוק תמיד!
# כאשר <math>a=1</math> ולכן הפונקציה המעריכית היא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה קבועה]] שערך ה-y שלה שווה ל-1.
# כאשר <math>a\ne1</math> :
#* <math>a>0</math> הפונקציה עולה.
שורה 77:
נמצא עבור הפונקציה y=3^x את ערך C שלה ב-X שונים.
שיפוע המשיק בנקודת ההשקה '''שווה לאפס''' (מסומן ב- <math>C_a</math>). לכן :
<math>
\begin{align}
C_3=
& =lim_{h \to 0} & = lim_{h
& =
& = lim_{h \to 0}
& =lim_{h=0.001}
& =lim_{h \to 0}
\end{align}
</math>
<math>
שורה 153 ⟵ 155:
גם, פה, תהליך מציאת הנגזרת ארוך ומסבוך ולכן, המציאו את המושג lna. Lna, שפרושו בעברית לוגריתם טבעי, הינו : <math>Ca=lim_{h \to 0} \frac {a^h-1}{h}=lna</math>.
"הנוסחא של ln" נמצאת במחשבון לחיצה עליה ועל a המבוקש תקצר לנו תהליך החישוב שתואר לעיל. אתם יכולים, כבר עכשיו, לבדוק את הערך של <math>ln2</math> ולגלות שהוא שווה ל-0.693.
כלומר, למציאת השיפוע של הפונקציה <math>y=2^x</math>, נבצע את הפעולה במחשבון כך: <math>C=2^{x}*ln2</math>, או ידנית, כך : <math>C=a*Ca</math>.
שורה 159 ⟵ 161:
הנגזרת של פונקציה מעריכית <math>y=a^x</math> בנקודה כול שהיא, היא : <math>y_a'=a^{x_0}*lna</math>
כמה נחמד שיש היום מחשבונים... [[קובץ:Gnome-face-smile-big.svg|
=תרגול=
==מצא את משוואת המשיק לפונקציה <math>y=4^x</math> בנקודה <math>X=1</math>==
'''שלב א' – נגזרת'''
<math>C_4=1.386=ln4</math><br />
<math>F(x)=4^x</math>
<math>\begin{align}
F(1)'&=4^x*ln4\\
& = 4*1*ln4=5.
\end{align}
</math>
'''שלב ב' – מציאת ערך y של הנקודה <math>X=1</math> : '''
<math>Y(1)=4^1=4</math>
'''שלב ג' – '''משוואת המשיק :
<math>
\begin{align}
& y-4
& y=5.544X-1.544\\
\end{align}
</math>
==פונקציות מעריכיות מורכבות - הוכחה==
עתה נרצה לגלות את הנוסחא לחישוב נגזרת עבור פונקציות מעריכיות מורכבות; נעזר בדוגמא של <math>y=2^{3x}
נפשט את הנוסחא באמצעות טכניקות אלגבריות ונקבל : <math>y=(2^3)^x=8^x</math>
נמצא נגזרת : <math>y'=8^x*C_8</math>
נבצע [[גזירה מורכבת]] :
נסמן : <math>u=3x</math>
<math>
\begin{align}
&F(u)=2^u\\
&f(u)'=2^u*C_2\\
&u'(x)=3\\
\Downarrow\\
&3*2^{3x}*C_2\\
8^x*3C_2 \\
\downarrow\\
C_{2^3}=8\\
\Downarrow\\
3C_3=3^3=27\\
2C_3=3^2=9\\
B*C_a=C_{a^b}\\
\downarrow\\
3^{3x}=27^x=C_27\\
\Downarrow\\
a^{g(x)'}=a^{g(x)}*g(x)'*Ca\\
\end{align}
</math>
למשל, כאשר נרצה לגזור את הפונקציה <math>y=27^x</math>
<math>Y'=27^3x*C_27*3</math>
הנוסחא : <math>a^{g(x)'}=a^{g(x)}*g(x)'*Ca</math>
===הייחודיות של פונקציה <math>y=e^x</math>===
<math>
\begin{array}{|c||c|} Ca & a \\
\hline
שורה 222 ⟵ 233:
1.386&4\\
\end{array}
</math>
מצא את הפונקציה המעריכית <math>(a^x)</math> עבורה <math>Ca=1</math> ([[זווית של 45 מעלות צלזיוס]]) !
נציב ב- Ca ושווה לאחד :
<math>
\begin{align}
&\frac{a^{0.001}-1}{0.001}=1\\
&a^{0.001}=1.001\\
&a^{0.001}=\sqrt{1.001}\\
&a=\sim 2.718\\
\end{align}
</math>
כלומר, אם <math>a=2.718</math>, אז הפונקציה היא : <math>y=2.718^x</math>, והנגזרת היא : <math>y'=2.718^x*1</math>
המספר המדויק עבורו : <math>ax=ax'</math>
ערך, זה, 2.718, היוצר פונקציה לה הנגזרת זהה בנוסחאת לנוסחאת הפונקציה שלה, הגדירו כ-<math>e=2.718</math>. את הפונקציה הגדירו כפונקציה <math>y=e^x</math>.
==תכונות==
שורה 243 ⟵ 257:
# : <math>X\in\mathbb R</math>.
#הפונקציה עולה לכל X.
# הישר y=0 הוא אסיפטוטמה אופקית של הפונקציה כיוון שהפונקציה המערכית אינה יכולה להתאפס : <math>a^x\ne0</math>
לסיכום :
הפונקציה המערכית <math>y=e^x</math>, הינה פונקציה מיוחדת כיוון ש-<math>c_a</math> שלה שווה ל-1....
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|אסימפטוטות]]=
שורה 252 ⟵ 267:
השוואת מכנה לאפס.
<math>X=lna</math>
==אסימפטוטה המקבילה לציר Y==
{{הערה|זכרו שחובה לרשום : <math>x \
===<math>X\to -{\infty}</math>==
<math>X\to -\infty</math>, כלומר,<math>e^x=0</math> (הערך הכי נמוך במשוואה מעריכית ; הוא הערך הקרוב ביותר לאפס).
נציב <math>e^x=0</math> במשוואה, נפתח אותה ונקבל תשובה.
===<math>x\to \infty</math>===
הכי נכון להציב <math>x\to \infty</math>, אולם, המון הנה, שלושת המצבים :
# '''y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)-''' כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
# '''אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-'''כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
#''' אסיפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה -''' אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
===לתשומת לבכם : שואף מהר יותר ===
נתונים שני x, אולם לא ברור מי מה-X הוא יותר גדול, כמו למשל : מי יותר גדול <math>e^x</math> או <math>x^2+1</math>?
e^x נחשב ל"שואף מהר יותר" מ-<math>x^2+1</math> כיוון ש-e הוא בערך שווה לשלוש, כאשר מעלים אותו במיליון הוא : <math>3^
לעומת זאת, <math>\infty
ובקיצור : <math>e^x</math> שואף מהר יותר ממיליון בחזקה נעלם ששונה ממיליון.
שורה 280 ⟵ 296:
=סיכום נוסחאות=
<math>F(x)'=a^{x_0}*Ca</math>
<math>Lim {h \to 0}=\frac{a^h-1}{h}</math>
<math>F(x)''=Ca^2*a^x</math>
<math>
F(x)'=a^{g(x)'}=a^{g(x)}*g(x)'*Ca</math>
[[קטגוריה...
| |||