|
=תיאור הפונקציה=
==פונקציה <math>y=a^x</math>==
קיימים שני מקרים עבור פונקציה מעריכית, אותם נבדוק תמיד!
# כאשר <math>a=1</math> ולכן הפונקציה המעריכית היא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה קבועה]] שערך ה-y שלה שווה ל-1.
#* <math>a>0</math> הפונקציה עולה.
#* <math>0<a<1</math> הפונקציה יורדת.
# אסיפטוטה אופקית - הפונקציה אינה נחתכת אף פעם עם ציר ה-X (האסימפטוטה y=0), כיוון שפונקיה מעריכית, אינה יכולה להתאפס : <math>a^x\ne0</math>.
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] : <math>X\in\mathbb R</math>.
==פונקציה <math>y=e^x</math>==
{{שקול לדלג|סיבה=ערך זה יובן טוב יותר לאחר לימוד הנושא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|הוכחות - פונקציה מעריכית[[; יחודיות של הפונקציה <math>y=e^x</math>}}
[[קובץ:Exp.svg|left|thumb|200px|פונקציה <math>y=e^X</math>]]
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] : <math>X\in\mathbb R</math>.
# הפונקציה חיובית לכל X.
# הפונקציה עולה לכל X.
# נגזרת הפונקציה זהה לפונקציה.
# הפוקנציה חותך את ציר Y בנקודה (0,1) – כיוון שהיא יוצרת זווית של 45 מעלות צלזיוס עם ציר X.
# הישר y=0 הוא אסיפטוטמה אופקית של הפונקציה כיוון שהפונקציה המערכית אינה יכולה להתאפס : <math>a^x\ne0</math>
=חיתוך=
=חיתוך עם הצירים=
=נקודת חיתוך בין שתי פונקציות=
הנעלם a, יכול להיות בסיס קבוע (כדוגמא 2,3,4) או בסיס משתנה. בכל מקרה, דרך הפתרון תיהיה באמצעות : [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים|משוואה מעריכית]].
# כאשר <math>a^{f(x)}>a^{g(x)} \xrightarrow{0<a<1} f(x)<g(x)</math>
=נקודות קיצון=
=גזירה (פונקציה מעריכית)=
==הוכחה==
על פי [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נגזרת - תורת הגבולות|נגזרת - תורת הגבולות]] הגדרת הנגזרת : <math>f'=lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> .
על פי הגדרת הנגזרת, נגלה את נוסחאת הנגזרת עבור הפונקציה <math>f(x)=a^x</math> בנקודה <math>x=x_0</math>
<math>
\begin{align}
F(x)'&=lim_{h \to 0} \frac{a^{x_0+h}-a^{x_0}}{h}\\
&=lim_{h \to 0} \frac {a^{x_0}(a^h-1)}{h}\\
\end{align}</math>
למשל : הנגזרת של הפונקציה <math>F(x)=2^x</math>, בנקודה <math>x=3</math> היא :
<math>\begin{align}
F(x)'&=lim_{h \to 0} \frac {2^{3_0}(2^h-1)}{h}\\
&=lim_{h \to 0} \frac {2^3(2^{0.01}-1)}{0.01}\\
&=8*0.965\\
\end{align}</math>
הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה <math>X=X_0</math> היא :
<math>C=F(x)'=lim_{h \to 0} \frac {a^{x_0}(a^h-1)}{h}</math>
==על פי הגדרת הנגזרת (לחמש יחידות)==
הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה <math>X=X_0</math> היא :
</math>
להוכחה : [[...מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
==נגזרת של פונקציות מעריכיות מורכבות==
==שיפוע המשיק - הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה==
הנוסחא : <math>a^{g(x)'}=a^{g(x)}*g(x)'*Ca</math>
===מושגים===
# C – שיפוע
# C_a – שיפוע הפונקציה בנקודה X=0
להוכחה : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
===הוכחה===
נזכיר שמציאת [[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/שיפוע|שיפוע]] מתבצע על פי הנוסחא : <math>tan \alpha= \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}</math>.
לדוגמא :
נמצא עבור הפונקציה y=3^x את ערך C שלה ב-X שונים.
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה|שיפוע המשיק : הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה]]==
שיפוע המשיק בנקודת ההשקה '''שווה לאפס''' (מסומן ב- <math>C_a</math>). לכן :
{{תיבה עם כותרת|
כותרת=הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת פונקציה מעריכית|
<math>
תוכן=
\begin{align}
<div style="text-align: center;">
C_3=f_30\prime\\
שיפוע פונקציה = שיפוע הפונקציה בנקודה <math>X=0</math> כפול ערך הפונקציה!
& =lim_{h \to 0}\frac{a^{x_0}*(a^h-1)}{h}\\
</div>
& = lim_{h\to0}\frac{a^0*(a^h-1)}{h}\\
.|
& =lim_{h \to 0}\frac{1*(a^h-1)}{h}\\
צבעכ=#F0F080|
& = lim_{h \to 0}\frac{3^h-1}{h}\\
צבער=#FFFFA0}}
& =lim_{h=0.001}\frac{3^{0.001}-1}{0.001}\\
{{תיבה עם כותרת|
& =lim_{h \to 0}\frac { {\color{red}1} * (3^{0.001}-1)} {0.001}\\
כותרת= סיכום שלבים למציאת שיפוע|
\end{align}
תוכן=
</math>
<math>
\begin{align}
C_31=F_30'&=lim_{h \to 0} \frac {a^{x_0}(a^h-1)}{h}\\
&= lim_{h \to 0} \frac {3^{1}(3^h-1)}{h}\\
&=lim_{h \to 0} \frac {{\color{red}3}(3^0.001-1)}{0.001}\\
&= 3*1.099\\
\end{align}
</math>
<math>
\begin{align}
C_32=F_32'&=lim_{h \to 0} \frac {3^{x_0}(a^h-1)}{h}\\
&= lim_{h \to 0} \frac {3^{2}(3^h-1)}{h}\\
&= lim_{h \to 0} \frac {{\color{red}9}(3^0.001-1)}{0.001} = 9*1.099\\
\end{align}
</math>
על סמך מה שראיתם :
# כאשר <math>C_a0</math> נקבל שיפוע כפול 1 (<math>a^0</math>).
# כאשר <math>C_a1</math> מקבל שיפוע כפול <math>a^1</math> וכן הלאה.
נסחו במילים את הקשר בין C (שיפוע המשיק) לבין נגזרת פונקציה מעריכית בנקודה <math>X=0</math> (<math>C_a</math>) כלשהי : <math>C=a*Ca</math>, כלומר :
שיפוע פונקציה = שיפוע הפונקציה בנקודה <math>X=0</math> כפול ערך הפונקציה!
סיכום שלבים למציאת שיפוע :
#הפונקציה : <math>f(x)=a^x</math>.
#שיפוע הפונקציה בנקודה <math>X=0 : Ca=lim_{h \to 0} \frac {a^h-1}{h}</math>.
# חישוב שיפוע : <math>C=a*Ca</math>. נזכיר כי : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|<math>C_a=lna</math>]]
.|
צבעכ= #40BFFF|
למשל, מצא את שיפוע הפונקציה <math>y=2^x</math> :
צבער=#4080FF}}
נמצא את ערך Ca של הפונקציה :
<math>
\begin{align}
C_2=F_20'&= lim_{h \to 0} \frac {1(a^h-1)}{h}\\
&= lim_{h \to 0} \frac {2^h-1}{h}\\
&=lim_{h = 0.001} \frac {2^0.001-1}{0.001}\\
&=lim_{h \to 0} \frac{2^0.001-1}{0.001}\\
&=0.693\\
\end{align}
</math>
נכפיל את ערך הפונקציה בערך <math>C_2</math> ונקבל את השיפוע :
<math>C_2=0.693*2</math>
=נקודות פיתול=
==הוכחה==
בכדי למצוא את הנוסחא לנקודת פיתול מבצע פעולה פשוטה יחסית – נגזור את הנגזרת הראשונה על פי הכלל: <math>C=F(x)'=lim_{h \to 0} \frac {a^{x_0}(a^h-1)}{h}</math>
<math>
\begin{align}
F_a'(x_0)&=a^{x_0}*c_a = g(x_0)\\
&G(x_0)=f''(x_0)\\
&=Ca(a^{x_0}*Ca)\\
&=f_a''(x_0)=Ca^2*a^{x_0}\\
\end{align}
</math>
כיוון ש: <math>Ca^2>0</math> וכך גם : <math>a^x>0</math>, <math> f_a(x)''>0</math> תמיד, כלומר, אין נקודות פיתול לפונקציה מעריכית!
==ln==
גם, פה, תהליך מציאת הנגזרת ארוך ומסבוך ולכן, המציאו את המושג lna. Lna, שפרושו בעברית לוגריתם טבעי, הינו : <math>Ca=lim_{h \to 0} \frac {a^h-1}{h}=lna</math>.
"הנוסחא של ln" נמצאת במחשבון לחיצה עליה ועל a המבוקש תקצר לנו תהליך החישוב שתואר לעיל. אתם יכולים, כבר עכשיו, לבדוק את הערך של <math>ln2</math> ולגלות שהוא שווה ל-0.693.
כלומר, למציאת השיפוע של הפונקציה <math>y=2^x</math>, נבצע את הפעולה במחשבון כך: <math>C=2^{x}*ln2</math>, או ידנית, כך : <math>C=a*Ca</math>.
הנגזרת של פונקציה מעריכית <math>y=a^x</math> בנקודה כול שהיא, היא : <math>y_a'=a^{x_0}*lna</math>
כמה נחמד שיש היום מחשבונים... [[קובץ:Gnome-face-smile-big.svg|right|thumb|20px|]]
=תרגול=
==מצא את משוואת המשיק לפונקציה <math>y=4^x</math> בנקודה <math>X=1</math>==
{{דוגמה|
'''שלב א' – נגזרת'''
מספר=|
שם=מצא את משוואת המשיק לפונקציה <math>y=4^x</math> בנקודה <math>X=1</math>|
תוכן=
===שלב א' – נגזרת===
<math>C_4=1.386=ln4</math><br />
<math>F(x)=4^x</math>
</math>
'''===שלב ב' –===
מציאת ערך y של הנקודה <math>X=1</math>, :היא :''' <math>Y(1)=4^1=4</math>
<math>Y(1)=4^1=4</math>
'''===שלב ג' – '''===
משוואת המשיק :
<math>
\begin{align}
\end{align}
</math>
}}
=נקודות פיתול=
==פונקציות מעריכיות מורכבות - הוכחה==
אין נקודות פיתול. להוכחה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
עתה נרצה לגלות את הנוסחא לחישוב נגזרת עבור פונקציות מעריכיות מורכבות; נעזר בדוגמא של <math>y=2^{3x}</math> .
נפשט את הנוסחא באמצעות טכניקות אלגבריות ונקבל : <math>y=(2^3)^x=8^x</math>
נמצא נגזרת : <math>y'=8^x*C_8</math>
נבצע [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|גזירה מורכבת]] :
נסמן : <math>u=3x</math>
<math>
\begin{align}
&F(u)=2^u\\
&f(u)'=2^u*C_2\\
&u'(x)=3\\
\Downarrow\\
&3*2^{3x}*C_2\\
8^x*3C_2 \\
\downarrow\\
C_{2^3}=8\\
\Downarrow\\
3C_3=3^3=27\\
2C_3=3^2=9\\
B*C_a=C_{a^b}\\
\downarrow\\
3^{3x}=27^x=C_27\\
\Downarrow\\
a^{g(x)'}=a^{g(x)}*g(x)'*Ca\\
\end{align}
</math>
למשל, כאשר נרצה לגזור את הפונקציה <math>y=27^x</math>
<math>Y'=27^3x*C_27*3</math>
הנוסחא : <math>a^{g(x)'}=a^{g(x)}*g(x)'*Ca</math>
=הייחודיות של פונקציה <math>y=e^x</math>=
<math>
\begin{array}{|c||c|} Ca & a \\
\hline
0.693&2\\
1.099&3\\
1.386&4\\
\end{array}
</math>
מצא את הפונקציה המעריכית <math>(a^x)</math> עבורה <math>Ca=1</math> ([[זווית של 45 מעלות צלזיוס]]) !
נציב ב- Ca ושווה לאחד :
<math>
\begin{align}
&\frac{a^{0.001}-1}{0.001}=1\\
&a^{0.001}=1.001\\
&a^{0.001}=\sqrt{1.001}\\
&a=\sim 2.718\\
\end{align}
</math>
כלומר, אם <math>a=2.718</math>, אז הפונקציה היא : <math>y=2.718^x</math>, והנגזרת היא : <math>y'=2.718^x*1</math>
המספר המדויק עבורו : <math>ax=ax'</math>
ערך, זה, 2.718, היוצר פונקציה לה הנגזרת זהה בנוסחאת לנוסחאת הפונקציה שלה, הגדירו כ-<math>e=2.718</math>. את הפונקציה הגדירו כפונקציה <math>y=e^x</math>.
==תכונות==
# נגזרת הפונקציה זהה לפונקציה.
# הפוקנציה חותך את ציר Y בנקודה (0,1) – כיוון שהיא יוצרת זווית של 45 מעלות צלזיוס עם ציר X.
# : <math>X\in\mathbb R</math>.
#הפונקציה עולה לכל X.
# הישר y=0 הוא אסיפטוטמה אופקית של הפונקציה כיוון שהפונקציה המערכית אינה יכולה להתאפס : <math>a^x\ne0</math>
לסיכום :
הפונקציה המערכית <math>y=e^x</math>, הינה פונקציה מיוחדת כיוון ש-<math>c_a</math> שלה שווה ל-1....
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|אסימפטוטות]]=
ובקיצור : <math>e^x</math> שואף מהר יותר ממיליון בחזקה נעלם ששונה ממיליון.
[[קטגוריה : חשבון...]]
=סיכום נוסחאות=
<math>F(x)'=a^{x_0}*Ca</math>
<math>Lim {h \to 0}=\frac{a^h-1}{h}</math>
<math>F(x)''=Ca^2*a^x</math>
<math>
F(x)'=a^{g(x)'}=a^{g(x)}*g(x)'*Ca</math>
[[קטגוריה...
| 