|
==TITI==
=תבנית=
# דפי הפניה אלגברה תיכונית
# פונקציות מערכיות הן בצורה : <math>Y=a^x</math>, כאשר <math>a>0</math>. למשל : <math>y=3^x</math>.
# תבניות מצב
# אולם, קיימות גם פונקציה מעריכיות מורכבת עליהן גם נדון בפרק זה, כדוגמא : <math>y=2^x+5</math>.
# פונקציה מעריכית מיוחדת : <math>y=e^X</math>
==הצבת נקודה בפונקציה ==
הצבת נקודה בפונקציה מתבצעת ע"פע הנוסחא : <math>f_a(x)</math>
נעזר בדוגמא ; הצבת הנקודה <math>x=3</math> בפונקציה<math> y=2^x</math> תרשם כך : <math>f_2(3)=8</math>
=תיאור הפונקציה=
==פונקציה <math>y=a^x</math>==
קיימים שני מקרים עבור פונקציה מעריכית, אותם נבדוק תמיד!
# כאשר <math>a=1</math> ולכן הפונקציה המעריכית היא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה קבועה]] שערך ה-y שלה שווה ל-1.
# כאשר <math>a\ne1</math> :
#* <math>a>0</math> הפונקציה עולה.
#* <math>0<a<1</math> הפונקציה יורדת.
# אסיפטוטה אופקית - הפונקציה אינה נחתכת אף פעם עם ציר ה-X (האסימפטוטה y=0), כיוון שפונקיה מעריכית, אינה יכולה להתאפס : <math>a^x\ne0</math>.
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] : <math>X\in\mathbb R</math>.
==פונקציה <math>y=e^x</math>==
[[קובץ:Exp.svg|left|thumb|100px|פונקציה <math>y=e^X</math>]]
{{שקול לדלג|סיבה=ערך זה יובן טוב יותר לאחר לימוד הנושא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|הוכחות - פונקציה מעריכית]]; יחודיות של הפונקציה <math>y=e^x</math>}}
#[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] : <math>X\in\mathbb R</math>.
# הפונקציה חיובית לכל X.
# הפונקציה עולה לכל X.
# נגזרת הפונקציה זהה לפונקציה.
# הפוקנציה חותך את ציר Y בנקודה (0,1) – כיוון שהיא יוצרת זווית של 45 מעלות צלזיוס עם ציר X.
# הישר y=0 הוא אסיפטוטמה אופקית של הפונקציה כיוון שהפונקציה המערכית אינה יכולה להתאפס : <math>a^x\ne0</math>
=חיתוך=
=חיתוך עם הצירים=
=נקודת חיתוך בין שתי פונקציות=
הנעלם a, יכול להיות בסיס קבוע (כדוגמא 2,3,4) או בסיס משתנה. בכל מקרה, דרך הפתרון תיהיה באמצעות : [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים|משוואה מעריכית]].
נזכיר את הכללים לבסיס משתנה :
# כאשר<math> a^{f(x)}>a^{g(x)} \xrightarrow{a>1} f(x)>g(x)</math>
# כאשר <math>a^{f(x)}>a^{g(x)} \xrightarrow{0<a<1} f(x)<g(x)</math>
=נקודות קיצון=
==על פי הגדרת הנגזרת (לחמש יחידות)==
הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה <math>X=X_0</math> היא :
<math>F(x)'=lim_{h \to 0} \frac {a^{x_0}(a^h-1)}{h}</math>
למשל : הנגזרת של הפונקציה <math>F(x)=2^x</math>, בנקודה <math>x=3</math> היא :
<math>
\begin{align}
F(x)'&=lim_{h \to 0} \frac {2^{3_0}(2^h-1)}{h}\\
&=lim_{h \to 0} \frac {2^3(2^{0.01}-1)}{0.01}\\
&=8*0.965\\
\end{align}
</math>
להוכחה : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
==נגזרת של פונקציות מעריכיות מורכבות==
הנוסחא : <math>a^{g(x)'}=a^{g(x)}*g(x)'*Ca</math>
להוכחה : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
לדוגמא : {{להשלים}}
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה|שיפוע המשיק : הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה]]==
{{תיבה עם כותרת|
כותרת=הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת פונקציה מעריכית|
תוכן=
<div style="text-align: center;">
שיפוע פונקציה = שיפוע הפונקציה בנקודה <math>X=0</math> כפול ערך הפונקציה!
</div>
.|
צבעכ=#F0F080|
צבער=#FFFFA0}}
{{תיבה עם כותרת|
כותרת= סיכום שלבים למציאת שיפוע|
תוכן=
#הפונקציה : <math>f(x)=a^x</math>.
#שיפוע הפונקציה בנקודה <math>X=0 : Ca=lim_{h \to 0} \frac {a^h-1}{h}</math>.
# חישוב שיפוע : <math>C=a*Ca</math>. נזכיר כי : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|<math>C_a=lna</math>]]
.|
צבעכ= #40BFFF|
צבער=#4080FF}}
{{דוגמה|
מספר=|
שם=מצא את משוואת המשיק לפונקציה <math>y=4^x</math> בנקודה <math>X=1</math>|
תוכן=
===שלב א' – נגזרת===
<math>C_4=1.386=ln4</math><br />
<math>F(x)=4^x</math>
<math>\begin{align}
F(1)'&=4^x*ln4\\
& = 4*1*ln4=5.54\\
\end{align}
</math>
===שלב ב' ===
מציאת ערך y של הנקודה <math>X=1</math>, היא :''' <math>Y(1)=4^1=4</math>
===שלב ג'===
משוואת המשיק :
<math>
\begin{align}
& y-4=5.544*(x-1)\\
& y=5.544X-1.544\\
\end{align}
</math>
}}
=נקודות פיתול=
אין נקודות פיתול. להוכחה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|אסימפטוטות]]=
==אסימפטוטה המקבילה לציר X==
השוואת מכנה לאפס.
<math>X=lna</math>
{{להשלים}}
==אסימפטוטה המקבילה לציר Y==
{{הערה|זכרו שחובה לרשום : <math>x \to \infty</math>}}
===<math>X\to -{\infty}</math>===
<math>X\to -\infty</math>, כלומר,<math>e^x=0</math> (הערך הכי נמוך במשוואה מעריכית ; הוא הערך הקרוב ביותר לאפס).
נציב <math>e^x=0</math> במשוואה, נפתח אותה ונקבל תשובה.
===<math>x\to \infty</math>===
הכי נכון להציב <math>x\to \infty</math>, אולם, המון הנה, שלושת המצבים :
# '''y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)-''' כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
# '''אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-'''כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
#''' אסיפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה -''' אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
===לתשומת לבכם : שואף מהר יותר ===
נתונים שני x, אולם לא ברור מי מה-X הוא יותר גדול, כמו למשל : מי יותר גדול <math>e^x</math> או <math>x^2+1</math>?
e^x נחשב ל"שואף מהר יותר" מ-<math>x^2+1</math> כיוון ש-e הוא בערך שווה לשלוש, כאשר מעלים אותו במיליון הוא : <math>3^{\infty}</math> (שלוש*מיליון פעמים שלוש = אינסוף פעמים שלוש)
לעומת זאת, <math>\infty^2+1</math> , שואף לאט יותר, כיוון שהוא רק מיליון*מיליון = 2 מיליון.
ובקיצור : <math>e^x</math> שואף מהר יותר ממיליון בחזקה נעלם ששונה ממיליון.
[[קטגוריה : חשבון...]]
| 