מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 81:
פולינום אשר בו יש רק איבר אחד יקרא '''מונום''' ואילו פולינום אשר בו 2, '''בינום'''. פולינום בו 3 אברים יקרא '''טרינום''' וכך הלאה.
===
פתיחת סוגריים וקיבוץ איברים הינן פעולות שגרתיות אשר כל תלמיד מתמטיקה ומקצועות מדעיים אחרים יתקל בהן. פתיחת סוגריים הינו תהליך שבו אנו מכפילים שני ביטויים (או יותר) שבסוגריים, ומקבלים ביטוי אשר אין בו מספר הסוגריים קטן. פתהילך אנו משתמשים בחוק הפילוג וחוק הקיבוץ מ[[חוקי חשבון|חוקי החשבון]]. את הפעולה אנו מבצעים לפי הסדר, כאשר כל איבר בסוגר אחד מוכפל באיבר בסוגר שני פעם אחת ורק אחת. על מנת להמנע מטעויות לפחות בתחילת דרכיכם, ניתן לפרק את הפעולה בצורה הבאה: למשל אם נרצה להכפיל את <math>\left(a+b\right)</math> עם <math>\left(c+d\right)</math> נקבל
<center>
<math>
\left(a+b\right)\cdot\left(c+d\right)=
a\left(c+d\right)+b\left(c+d\right)=
ac+ad+bc+bd
</math>
</center>
דוגמאות נוספות:
<center>
<math>
\left(x+1\right)\left(x-6\right)=x\cdot\left(x-6\right)+1\cdot\left(x-6\right)=
x^2-6x+x-6=x^2-5x-6
</math></br>
<math>
\left(a+b\right)^{2}=\left(a+b\right)\cdot\left(a+b\right)=a\cdot\left(a+b\right)+b\cdot\left(a+b\right)=
a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2
</math></br>
</center>
תלמידים רבים טועים כאשר מנסים לבצע תרגיל זה וכותבים (בטעות) את הפסוק הבא
<center>
<math>
\left(a+b\right)^2=a^2+b^2
</math>
</center>
זוהי טעות שכן החזקה '''איננה ניתנת לפילוג לפעולות חיבור'''. פילוג בחזקה ניתן לבצע רק בכפל. מכאן גם נובעת מסקנה נוספת, והיא שגם שורשים לא ניתן לפלג, שכן אף הם חזקות, מה שלא מונע מתלמידים רבים לטעות גם כאן ולכתוב ש
<center><math>
\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}
</math></center>
שאף זוהי טעות. זוהי פתיחת סוגריים בלתי חוקית. ניתן להשתמש אך ורק בחוקי החשבון הידועים לנו מפרק קודם על מנת לפתוח סוגריים.
דוגמא נוספת:
<center>
<math>
\left(a+b+c+d\right)\cdot\left(e+f\right)=\left(a+b+c+d\right)\cdot{e}+\left(a+b+c+d\right)\cdot{f}=
ae+be+ce+de+af+bf+cf+df
</math>
</center>
פתיחת הסוגר הראשון קודם תביא לביטוי ארוך יותר וסיכוי רב יותר לטעויות.
===הוצאת גורם מחוץ לסוגריים===
פעולה זה הינה פעולה ההפוכה לפעולת פתיחת סוגריים שכופלים איבר יחיד. הוצאת גורם מחוץ לסוגריים משתמשת בחוק בפילוג והיא מתבצעת לרוב ישירות ממנו. לדוגמא
<center>
<math>
ac+ab=a\left(c+b\right)
</math>
</center>
ניתן אך להוציא איבר מחוץ לסוגריים גם אם איננו קיים "באמת". זאת ניתן לעשות באופן הבא
<center>
<math>
ac+b=c\left(a+\frac{b}{c}\right)
</math>
</center>
צורה זו הינה נדירה יותר, אך אף היא שימושית מדי פעם.
===נוסחאות הכפל המקוצר===
נוסחאות אלו הינן נוסחאות אשר מאפשרות לפתוח סוגריים (או לקבץ איברים) של
<center>
<math>\left(a+b\right)^{2}=a^2+2\cdot{a}\cdot{b}+b^2</math></br>
שורה 98 ⟵ 152:
</center>
כפי שנראה לעיל, התוצאה היא פולינום בשני משתנים וניתן להשתמש בנוסחאות אלו בכל מקרה בו נרצה לפתוח סוגריים ולקבץ איברים.
נוסחאות אלו הינן בעלות חשיבוה רבה ויש ללמוד אותן בע"פ. במיוחד חשובות הנוסחאות של חזקה 2.
===פירוק טרינום ריבועי לגורמים===
סעיף זה מדבר על פעולה הנקראת פירוק טרינום ריבועי לגורמים. טרינום ריבועי הינו רב-איבר מהצורה
<center>
<math>
ax^2+bx+c
</math>
</center>
| |||