חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגולים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←פונקציות: - תיקון שטות קטנה שכתבתי |
מ ←פונקציות: - תיקונים ותוספות |
||
שורה 20:
==פונקציות==
<u> הגדרה </u> פונקציה היא התאמה של איברים מקבוצה הנקראת "תחום הגדרת הפונקציה" (או בקיצור: תחום) לקבוצה הנקראת "
נהוג לסמן פונקציות על ידי אותיות לועזיות, ובפרט האותיות <math>\ f,g,h</math>. עם זאת, בשימושים שונים של פונקציות ייתכנו סימנים אחרים.
</center>[[תמונה:P1fstt.jpg|תרשים להמחשה: תחום, טווח ותמונה]]</br><center>▼
הסימון <math>\ f:D\to E</math> מתאר פונקציה על ידי תיאור שלושת מרכיביה: סימון הפונקציה <math>\ f</math>, תחום הפונקציה <math>\ D</math> וטווח הפונקציה <math>\ E</math>
הביטוי <math>\ f(x)</math> בא לתאר את הפעלת הפונקציה <math>\ f</math> על האיבר <math>\ x</math>. הפעלה זו מחזירה איבר יחיד מהטווח, כלומר לא קיימים <math>\ y_1\ne y_2</math> כך ש-<math>\ f(x)=y_1</math> וגם <math>\ f(x)=y_2</math>. כאשר <math>\ f(x)=y</math> אומרים כי <math>\ y</math> הוא ה'''תמונה''' של האיבר <math>\ x</math> על ידי הפונקציה <math>\ f</math>.
נציג מספר דוגמאות לפונקציות:
#<math>\ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>\ f(x)=x^2</math>.
#<math>\ g:\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}</math> המוגדרת על ידי <math>\ g(x)=\frac{1}{x}</math>.
#<math>\ h:\left\{1,2,3\right\}\to\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>\ h(x)=0</math>.
אם <math>\ A</math> היא קבוצה, ה'''תמונה''' של <math>\ A</math>, המסומנת על ידי <math>\ f(A)</math>, היא הקבוצה <math>\ \left\{y|\exists x\in A:f(x)=y\right\}</math>. כלומר, זו הקבוצה של כל התמונות של אברי <math>\ A</math>.
התמונה של תחום הפונקציה כולו נקראת "תמונת הפונקציה". נשים לב כי תמונת הפונקציה אינה בהכרח הטווח כולו. למשל, עבור הפונקציה מדוגמה מס' 1 מתקיים <math>\ f(\mathbb{R})=\mathbb{R}^+\cup\left\{0\right\}</math>, כי פונקציה זו מעתיקה כל מספר למספר חיובי או אפס.
ההפרדה בין תמונת הפונקציה והטווח אינה שרירותית: למשל, לעתים קל לתאר את הטווח של פונקציה אבל קשה לתאר את תמונתה. בהמשך גם נראה שההפרדה בין טווח ותמונה חשובה כאשר עוסקים בפונקציות הופכיות.
<center>
</br>
</center>
===פונקציות חד-חד ערכיות ופונקציות על===
נתאר כעת שתי תכונות חשובות שיכולות לאפיין פונקציה.
====פונקציה חד-חד ערכית====
נוהגים לקרוא לפונקציה '''חד-חד ערכית''' או '''אינג'קטיבית''' אם לא קיימים שני איברים בתחום בעלי אותה תמונה. כלומר, פונקציה <math>\ f:D\to E</math> היא חד-חד ערכית אם לא קיימים <math>\ x_1,x_2\in D</math> כך ש-<math>\ f(x_1)=f(x_2)</math>.
בניסוח שונה אך שקול ניתן לומר כי <math>\ f</math> חד-חד ערכית אם ורק אם לכל<math>\ x_1,x_2\in D</math> מתקיים <math>\ f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math>.
ניתן לחשוב על פונקציה חד-חד ערכית כעל פונקציה שלא מאבדת מידע. למשל, הפונקציה <math>\ f(x)=0</math> ששולחת כל איבר לאפס אינה חד חד ערכית, והיא מאבדת מידע - אם נדע מהי התמונה של איבר כלשהו על ידיה לא נוכל לשחזר את אותו איבר. לעומת זאת, עבור פונקציה חד-חד ערכית נוכל לבצע שחזור שכזה כי אנחנו יודעים שלכל איבר בתמונה מתאים איבר בודד בטווח.
====פונקציה על====
נאמר על פונקציה <math>\ f:D\to E</math> שהיא '''על''' או '''סורג'קטיבית''' אם הטווח והתמונה שלה זהים, כלומר <math>\ f(D)=E</math>. פירוש תכונה זו היא שהפונקציה "מכסה" את הטווח כולו.
בניסוח פשוט יותר, פונקציה היא על אם לכל <math>\ y\in E</math> קיים <math>\ x\in D</math> כך ש-<math>\ f(x)=y</math>.
====פונקציה הפיכה====
פונקציה <math>\ f:D\to E</math> שהיא גם חד-חד ערכית וגם על נקראת '''פונקציה הפיכה''' או '''ביג'קטיבית'''. פירוש ה"הפיכות" של הפונקציה הוא שקיימת פונקציה אחרת, המסומנת <math>\ f^{-1}:E\to D</math> כך ש-<math>\ f^{-1}(f(x))=x,f(f^{-1}(y))=y</math> - כלומר, כל אחת מהפונקציות מבטלת את פעולתה של השנייה.
את <math>\ f^{-1}</math> ניתן להגדיר במפורש כך: <math>\ f^{-1}(y)=x</math> אם ורק אם <math>\ f(x)=y</math>. מהגדרה זו נוכל לראות למה <math>\ f</math> חייבת להיות חד-חד ערכית ועל:
אם <math>\ f</math> אינה חד-חד ערכית, קיימים <math>\ x_1,x_2\in D</math> כך ש-<math>\ f(x_1)=f(x_2)=y</math>, ואז לא ברור כיצד להגדיר את <math>\ f^{-1}(y)</math>. האם להגדיר <math>\ f^{-1}(y)=x_1</math> או <math>\ f^{-1}(y)=x_2</math>? כזכור, אנחנו חייבים להגדיר את התמונה של <math>\ y</math> בצורה יחידה ולכן לא ניתן לקבל את שתי האפשרויות.
אם <math>\ f</math> אינה על, קיים <math>\ y\in E</math> כך שלא קיים <math>\ x\in D</math> שעבורו <math>\ f(x)=y</math>. לכן שוב לא ברור כיצד להגדיר את <math>\ f^{-1}(y)</math> - אין אף איבר שמתאים למטרה זו.
===פונקצית הערך המוחלט===
| |||