|
בסוף כל פרק תמצאו תרגילים אשר יעזרו לכם להבין ולהשתפר ביכולתיכם האלגבריות הבסיסיות.
עבור המספרים מתקיימים מספר חוקים בסיסיים. אנו נעבור עליהם בהרחבה. בפרקים הבאים:
=* פרק ראשון: [[חוקי החשבון/חוקי פעולות החשבון|חוקי פעולות החשבון=]]
* פרק שני: [[חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות|חוקי חשבון חזקות]]
==המספרים הנייטרליים 0 ו-1==
* פרק שלישי: [[חוקי החשבון/חזקות ושורשים|חזקות ושורשים]]
הרעיון של המספר 0, אף שבימינו עשוי להיראות טבעי, לא היה מקובל במתמטיקה במשך תקופה ארוכה. לדוגמה, המתמטיקאים היוונים הקדמונים לא השתמשו כלל במספר 0. מהות המספר 0 היתה נושא לדיון פילוסופי לראשונה בהודו העתיקה. את המושג של ה-0 הביאו הערבים למערב. המספר מייצג את מושג ה-''אין''. זהו מספר אשר חיבור של כל מספר איתו תמיד ייתן את המספר הנתון.
כלומר, לכל מספר <math>\ a</math> תמיד מתקבל
<math>\ a+0=a</math>
ועל כן תפקידו כמספר נייטרלי לחיבור.
המספר 1 לא מעורר מחלוקות פילוסופיות דומות, אך גם הוא מהווה איבר נייטרלי, הפעם ביחס לפעולת הכפל: לכל מספר <math>\ a</math> נקבל תמיד <math>\ a\cdot 1=a</math>.
הן עבור 0 והן עבור 1 תכונות אלו נובעות מהגדרת פעולות הכפל והחיבור.
==המספר ההופכי והמספר הנגדי==
המספר הנגדי למספר <math>\ a</math> הינו מספר שחיבור שלו עם <math>\ a</math> נותן 0. מספר זה הוא יחיד. כלומר, קיים רק מספר אחד שהוא נגדי למספר מסויים. מספר כזה מסומן בסימן '''-''' (מינוס). כלומר, למספר a קיים מספר נגדי שמסומן ב
<center>
<math>\ \left(-a\right)</math>
</center>
כך שמתקיים
<center>
<math>\ a+\left(-a\right)=\left( -a \right)+a =0</math>
</center>
מהגדרה זו נובע שהנגדי של הנגדי למספר כלשהו זה המספר עצמו, באופן הבא: מהגדרת הנגדי מתקיים:
<center>
<math>\ \left(-a\right)+\left[-\left(-a\right)\right]=0</math>
</center>
כלומר נקבל:
<center> <math>\ \left( -a \right) + \left[ - \left( -a \right) \right] = \left( -a \right) +a </math> </center>
משיוויון זה, וכן בהסתמך על העובדה שהנגדי הוא יחיד (לפי הגדרה), נקבל שמתקיים:
<center>
<math>\ \left[-\left(-a\right)\right]=a</math>.
</center>
גם בפעולת הכפל קיים מספר דומה. במקרה של הכפל מכפלה במספר זה (הקרוי הופכי) מביאה לקבלת המספר 1. לכל המספרים קיים מספר הופכי, פרט למספר 0 שלו אין הופכי.
למספר ההופכי יש קשר ישיר לפעולת החילוק, כמו שלמספר הנגדי ישנו קשר ישיר לפעולת החיסור.
את המספר ההופכי אנו נסמן בעזרת קו שבר באופן הבא. אם a הוא מספר השונה מ-0, אז ההופכי של a הוא המספר
<center>
<math>\ \frac{1}{a}</math>
</center>
כך שמתקיים:
<center> <math>\ \frac{1}{a} \cdot{a}=a\cdot\frac{1}{a} =1 </math> </center>
כאשר מחלקים מספר כלשהו במספר אחר, למעשה מה שעושים זה לכפול אותו במספר ההופכי. אם כן, את פעולת החילוק נגדיר כ'''כפל בהופכי'''. כך גם נגדיר את פעולת החיסור כ'''חיבור עם הנגדי'''. את החיסור של שני מספרים
<math>\ a,b</math>
נסמן באופן הבא:
<center>
<math>\ a-b</math>
</center>
כאשר למעשה הפעולה האמיתית שאנו מבצעים הינה
<center>
<math>\ a+\left(-b\right)</math> </div>
</center>
באותו אופן מוגדר גם החילוק, כך שלמעשה מקבלים:
<center>
<math>\ \frac{a}{b}=\frac{1}{b}a</math>
</center>
הסיבה שבגללה אין הופכי לאפס היא שניתן להוכיח כי <math>\ a\cdot 0=0</math> לכל מספר <math>\ a</math> (לצורך כך יש להכיר את חוק הפילוג שטרם למדנו). בשל כך, לא ייתכן שיהיה קיים מספר <math>\ a</math> כך ש-<math>\ a\cdot 0=1</math>.
מכיוון שלאפס אין הופכי, לא ניתן להגדיר חילוק באפס באותה צורה בה הוגדר החילוק עבור שאר המספרים, ולכן לרוב משאירים את תוצאת החילוק באפס בלתי מוגדרת.
חלוקה באפס עלולה לגרום לטעויות: למשל, נביט במשוואה <math>\ 0\cdot 1=0\cdot 2</math>. ברור כי היא נכונה שכן שני אגפיה שווים לאפס. אם נחלק את שני אגפי המשוואה באפס נקבל <math>\ 1=2</math> וזה בבירור לא נכון.
==חוקי החילוף של החיבור והכפל==
בחיבור ניתן להחליף את מיקום האיברים בחיבור מבלי לשנות את התוצאה. לדוגמא <math>\ 5+2=2+5</math> ולכן לכל <math>\ a,b</math> מספרים מתקיים ש: <math>\ a+b=b+a</math>. חוק זה תקף גם לגבי כפל, אך אינו תקף לגבי חיסור או חילוק.
הסיבה שהחוק אינו תקף עבור חיסור היא שבפעולת החיסור אנחנו מחברים את אחד המספרים עם הנגדי של השני, והשאלה לאיזה משני המספרים ניקח את הנגדי תלויה במיקום שלו: בחיסור אנחנו תמיד לוקחים את הנגדי של האיבר שמימין לסימן החיסור. מסיבה דומה החוק אינו תקף עבור חילוק.
==חוק הקיבוץ==
חוק זה קובע שאין חשיבות למיקום הסוגריים כאשר אנו מבצעים ''פעולות חיבור בלבד'' או ''פעולות כפל בלבד''. כלומר: לכל <math>\ a,b,c</math> מספרים כלשהם, מתקיים:
<center>
<math>\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)</math>
</center>
ובאותה צורה מתקיים:
<center>
<math>\left(ab\right)c=a\left(bc\right)</math>
</center>
בזכות קיומו של חוק זה ניתן לכתוב פשוט <math>\ a+b+c</math> או <math>\ abc</math> ללא סוגריים, וזאת למרות שפעולות החיבור והכפל הוגדרו עבור זוג של מספרים ולא עבור שלשות.
נשים לב שהחוק עוסק בסדר חישוב פעולת הסוגריים רק עבור פעולות '''זהות''', ועבור פעולות שונות החוק אינו נכון. למשל:
<center>
<math>\ 9=(1+2)\cdot 3\ne 1+(2\cdot 3)=7</math>.
</center>
==חוק הפילוג==
חוק זה קובע קשר בין פעולות הכפל והחיבור. בעזרת חוק זה ניתן לפתוח סוגריים ולהוציא מספר מסוגריים, פעולות שנדון בהן בהמשך.
<center>
<math>a\left(b+c\right)=ab+ac</math>
</center>
==הסכם סדר הפעולות==
במתמטיקה קיים הסכם שקובע את סדר הפעולות שעושים כאשר מחשבים את הערך של שרשרת פעולות כלשהי. ההסכם קובע שכפל וחילוק קודמים לחיבור וחיסור. הסכם זה נקבע כך בשל הקיום של חוק הפילוג. למרות הסכם זה ולפי חוק הפילוג, כאשר מחשבים את ערכה של תבנית כלשהי יש לחשב קודם את הערך שבסוגריים, כאשר יש להתחיל בסוגריים הפנימיים ביותר ולעלות בהיררכיה בהדרגה. במילים אחרות, בבואינו לחשב ערך של ביטוי מתמטי מסויים, עלינו לפעול בסדר הבא:
# איתור הסוגריים וחישוב תוכנם, באופן הבא:
## חישוב כל פעולות ה''חזקה'' (פעולה שטרם למדנו).
## חישוב כל פעולות ה''כפל'' וה''חילוק''.
## חישוב כל פעולות ה''חיבור'' וה''חיסור''.
# לאחר שחישבנו את ערכו של כל אחד מהביטויים הרשומים בסוגריים, עלינו לבצע את הפעולות לפי הסדר הנ"ל בין המספרים שהתקבלו כתוצאה מהחישוב.
דוגמה: חשבו את ערך הביטוי הבא:</br>
<math>\ \left( 1+\left( 3-2\right) \cdot 4-3\right) \cdot\left( 4+1\cdot 2\right) +\left( 0+2-1\right)=? </math>
פתרון:</br>
* נפתח בחישוב הסוגריים הראשונים, כלומר השמאליים ביותר: <math>\ \left( 1+\left( 3-2\right) \cdot 4-3\right) </math>. מאחר וסוגריים אלה מכילים בתוכם זוג נוסף של סוגריים, נטפל קודם כל בו. נחשב את הסוגריים הפנימיים:<math>\ 3-2=1 </math>. נכניס את תוצאת החישוב לתוך הסוגריים הגדולים יותר, ונקבל:<math>\ \left( 1+1\cdot 4-3 \right) </math>.</br> נזכור, שפעולת הכפל קודמת לפעולת החיבור. לכן, נחשב כעת את המכפלה שבתוך הסוגריים: <math>\ 1\cdot 4 =4</math>. כלומר, עכשיו כתוב לנו בתוך הסוגריים: <math>\ \left( 1+4-3\right) </math>.</br>
כעת, משנותרנו רק עם פעולות חיבור וחיסור, נחשב אותן לפי הסדר:
<math>\ 1+4-3 =5-3=2</math>. לכן, תוצאת הסוגריים השמאליים היא 2.
* נחשב כעת את הסוגריים השמאליים: <math>\ \left( 4+1\cdot 2\right)</math>. סוגריים אלה אינם מכילים בתוכם סוגריים נוספים, אבל מכילים פעולות מסוגים שונים: גם כפל וגם חיבור. נזכור, שכפל קודם לחיבור, ונחשב קודם אותו, לפי הגדרת המספר הנייטרלי לכפל שראינו למעלה: <math>\ 1\cdot 2=2</math>. כלומר, נותרנו עם: <math>\ \left( 4+2\right) </math>.
ונעבור לחישוב הסופי עבור סוגריים אלה: <math>\ 4+2=6</math>.
* נעבור כעת לסוגריים האחרונים: <math>\ \left( 0+2-1 \right) </math>. בתוך סוגריים אלה יש פעולות מהסוגים חיבור וחיסור, לכן נבצע אותן לפי הסדר בו הן מופיעות, תוך שאנו זוכרים את האיבר הנייטרלי לחיבור המופיע למעלה: <math>\ 0+2-1-=2-1=1</math>.
* כעת, משפתחנו את כל הסוגריים, נעבור לשלב הבא: במקום כל סוגריים נכתוב את תוצאת הביטוי הרשום בתוכם. נקבל: <math>\ 2\cdot 2 + 6</math>. בביטוי החדש שהתקבל יש לנו פעולת כפל ופעולת חיבור. נפתח, כזכור, בפעולת הכפל: <math>\ 2\cdot 2=4</math>. ונותר לחשב את: <math>\ 4+6=10</math>.</br>
כלומר, תוך שמירה על סדר הפעולות מצאנו שסכום הביטוי הנ"ל הוא 10.
נקודה למחשבה: מה היה קורה אם לא היינו שומרים על סדר הפעולות? מה היינו מקבלים אז?
==תרגילים==
בעזרת חוקי החשבון בלבד, הוכח את הטענות הבאות:
<div style="text-align:left; direction:ltr;">
*<math> -a = (-1) \cdot a</math>
*<math>0 \cdot a = 0</math>
</div>
=חוקי חשבון חזקות=
חזקות הן מעין הכללה של פעולת הכפל, ומאפשרות לכתוב ביטויים מסובכים בצורה פשוטה.
==סימון חזקות==
את החזקה מסמנים כמעין אינדכס עליון למספר (או משתנה). לדוגמא, אם נרצה לכתוב 3 בחזקת 5 יש לכתוב זאת כך:
<div style="text-align:center; direction:ltr;">
<math>\ 3^{5}</math>
</div>
במקרה זה נקרא את זה כ-''3 בחזקת 5''. ה-5 יקרא '''מעריך''' החזקה, ואילו ה-3 יקרא '''הבסיס''' שלה. אם המעריך הוא 2 אז אומרים '''בריבוע''' ואם הוא 3 או 4 אז אומרים בשלישית או ברביעית וכו'.
==משמעות החזקה==
===חזקה עם מעריך טבעי===
אם המעריך של חזקה הוא מספר טבעי (דוגמת 1,2,3... וכו') אז נגדיר את החזקה להיות הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך. לדוגמא, אם כתוב <math>\ 3^{4}</math> אז למעשה עלינו להכפיל את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר</br>
<center>
<math>\ 3^{4}=3 \times 3 \times 3 \times 3</math>
</center>
על כן, כאשר מדובר בחזקה עם מעריך טבעי <math>\ n</math> ובסיס <math>\ a</math> נקבל </br>
<center>
<math>\ a^{n}=
\underbrace{
a\times{a}\times{a}\cdots\times{a}
}
</math></br>
<math>\ n</math> פעמים
</center>
כדוגמא נחשב כמה חזקות</br>
<center>
<math>\ 5^{3}=5\times{5}\times{5}=125</math></br>
<math>2^{8}=2\times{2}\times\cdots\times{2}=256</math></br>
<math>(-1)^{3}=(-1)\times{(-1)}\times{(-1)}=(-1)</math></br>
</center></br>
וכן הלאה.
==פעולות על חזקות==
===חיבור וחיסור מעריכים בחזקות===
כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא ל'''חיבור/חיסור המעריכים''' כלומר
<center>
<math>
a^{2}\cdot{a}^{4}=a^{2+4}=a^{6}
</math>
</center>
או באופן כללי
<center>
<math>
{a}^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}
</math>
</center>
באופן דומה, חילוק שתי חזקות יביא ל'''חיסור''' המעריכים. </br>
<center>
<math>\frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}</math></br>
</center>
נשים לב שחיסור חזקות יוכל להביא לכך שהמעריך יהיה אפס או מספר שלילי. לכן נראה בהמשך כיצד ניתן להגדיר חזקות עם מעריך שאינו מספר חיובי בצורה שתהיה אחידה עם החוק שהצגנו כאן.
===חזקה של חזקה===
נבדוק מה קורה במקרה של חזקה של חזקה. למשל במקרה של
<center>
<math>
{\left(a^{b}\right)}^{c}
</math>
</center>
במקרה זה עלינו להכפיל את המעריכים (למה?). נקבל כאן ש
<center>
<math>
{\left(a^{b}\right)}^{c}={\left(a^{c}\right)}^{b}=a^{b\cdot{c}}
</math>
</center>
==חזקות שאינן חיוביות==
===חזקות של המעריך 0===
חזקות אלו לפי ההגדרה תמיד שוות 1 לבסיס שונה מ-0. כלומר, לכל <math>\ a\ne 0</math> מתקיים <math>\ a^0=1</math>.
כדי להבין את המניע להגדרה הזו ניזכר בחוק החיסור של המעריכים. לכל <math>\ a\ne 0</math> ועבור <math>\ n>0</math> כלשהו מתקיים <math>\ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^{0}</math> והרי <math>\ \frac{a^n}{a^n}=1</math> כי המונה והמכנה שווים.
בהצדקה הזו לא ניתן להשתמש כאשר הבסיס הוא 0, ואכן לרוב הביטוי <math>\ 0^0</math> נותר בלתי מוגדר. עם זאת נוח במקרים מסויימים להגדיר אותו בתור 1 גם כן. לא נציג כאן מקרים אלו.
===חזקות עם מעריך שלילי===
חזקות בעלות מעריך שלילי מוגדרות להיות ההופכי של חזקה דומה עם מעריך חיובי. כלומר</br>
<center>
<math>
a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}
</math>
</center></br>
למעשה, ההגדרה נכונה לכל מעריך שהוא '''נגדי''' למעריך אחר. כלומר, עבור כל מעריך <math>\ b</math> מתקיים הכלל</br>
<center>
<math>
a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}
</math>
</center></br>
ההצדקה להגדרה זו נובעת גם היא מחוקי החיסור של חזקות. הרי אם <math>\ a\ne 0</math> אז <math>\ a^{-b}=a^{0-b}=\frac{1}{a^b}</math> על פי הכללים שכבר למדנו.
מכיוון שלא ניתן לחלק באפס, הביטוי <math>\ 0^{-b}</math> עבור <math>\ b>0</math> איננו מוגדר.
=חזקות ושורשים=
==שורשים פשוטים==
===שורש ריבועי===
לפעולת השורש קרבה גדולה לפעולת החזקה. למעשה קיימות שתי פעולות אשר ניתן לומר עליהן שהן פעולות ה'''הפוכות''' לחזקה. פעולה אחת היא פעולת הלוגריתם, אשר לא נדון בה כעת, והשניה היא הפעולה ההפוכה להעלאת בסיס בחזקה עם מעריך מסויים. זוהי פעולת השורש. השורש הנפוץ והשימושי ביותר הינו כמובן ה'''שורש הריבועי'''. שורש זה הוא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע (חזקת 2). אילו העלינו מספר כלשהו, למשל 3 בריבוע, הפעולה שהיתה מחזירה את התוצאה חזרה ל-3 הינה פעולת השורש הריבועי. את פעולת השורש הריבועי של <math>a</math> מסמנים כך</br>
<center>
<math>
\sqrt{a}
</math>
</center>
</br>
על מנת לנסות להמחיש את הפעולה לאשורה, ניקח למשל את המספר 25. ננסה למצוא שורש למשפר זה. מכיוון שאנו כבר יודעים מראש ש-25 הוא מכפלה של 5 בעצמו, או במילים אחרות 5 בריבוע, הרי ששורש שלו הוא 5. כלומר</br>
<center>
<math>
\sqrt{25}=5
</math>
</center></br>
זאת מכיוון ש
</br>
<center>
<math>
{(\sqrt{25})}^2={5}^{2}=25
</math>
</center>
===שורש מסדר n===
השורש הריבועי הוא רק מקרה פרטי של שורשים. ניתן להעלות מספר בחזקת כל מספר טבעי. לכן, לכל מספר טבעי גם קיים שורש מהסדר שלו. לשורש זה קוראים שורש n-י. כלומר, לא הייתי מחפש שורש למספר שהועלה בשלישית הייתי מחפש שורש '''שלישי'''. שורש זה מסומן כך</br>
<center>
<math>
\sqrt[n]{a}
</math>
</center></br>
כלומר פעולת השורש מסדר n צריכה לקיים
<center>
<math>
{(\sqrt[n]{a})}^{n}={a}^{1}=a
</math>
</center>
אנו כבר יכולים לנחש שאילו היינו רוצים לייצג את פעולת שורש כפעולה של '''חזקה''' (כשם שהחילוק היא למעשה פעולה של הכפל כלומר כפל בהופכי) היינו רוצים למצוא חזקה נכונה שתתאים לחוקי החזקות הקודמים שמצאנו ועדיין תקיים את כל התכונות של השורש. למזלנו, חזקה כזו כבר נמצאה, ולכן השורש כחזקה מוגדר באופן הבא
<center>
<math>
\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}
</math>
</center>
לדוגמא, שורש ריבועי ניתן גם לסמן כך</br>
<center>
<math>
\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}
</math>
</center></br>
לדוגמא, בעזרת חוקי החזקה ניתן לחשב את השורש של 256 כך</br>
<center>
<math>
\sqrt{256}=256^{\frac{1}{2}}={(2^{8})}^{\frac{1}{2}}={2^{8\cdot{\frac{1}{2}}}}=2^4=16
</math>
</center>
'''הערה''': נשים לב, שבמקרה שמדובר בשורש מסדר זוגי, קיימים שני מספרים אשר יכולים להתאים כתשובה לשאלה "איזה מספר בריבוע נותן את המספר שבשורש". אחד חיובי והשני שלילי. במובן של "מי באמת השורש" '''שתי התשובות נכונות'''. מכיוון שבמתמטיקה מעוניינים לחקור יותר לעומק את התכונות של השורשים הללו, כאשר מדובר בשורשים של מספרים ממשיים, אנו מקבלים את התשובה החיובית בלבד. זוהי '''הגדרה'''. אין להבין מכך שהשורש השלילי איננו שורש מחד, אין להציגו בחישוב שורשים מאידך. לסיכום, התוצאה של פעולת השורש מסדר זוגי, היא תמיד חיובית (במספרים הממשיים).
==חזקות של מספרים רציונליים==
כזכור, מספרים רציונליים הינם מספרים אשר ניתן להציגם כמנה של מספרים שלמים (יתכן שליליים). קבוצה זו של מספרים מסומנת במתמטיקה באות המיוחדת <math>\mathbb Q</math>. למשל חצי או שליש או שני שליש הינם כולם מספרים רציונליים.
כעת התקרבנו צעד נוסף לקראת הגדרת החזקה לכל מעריך. למעשה בעזרת הגדרת השורש כחזקה עם מעריך מסויים הגדרנו (בעזרתם של חוקי החזקה הנותרים) גם את החזקה לכל מעריך רציונלי. בזאת ניתן להווכח אם נתבונן במספר רציונלי כלשהו, למשל
<math>
r
</math>
. את המספר הזה ניתן להציג כיחס של שני מספרים שלמים, אחד במונה והשני במכנה. נסמנם ב-<math>n</math> וב <math>m</math> בהתאמה. לכן ניתן לכתוב את המספר שלנו כך</br>
<center>
<math>
r=\frac{n}{m}
</math>
</center></br>
ומהסימונים שלנו ניתן גם לקבל ש
<center>
<math>
a^{r}=a^{\frac{n}{m}}
</math>
</center></br>
מכאן לפי חוקי החזקות לעיל ניתן גם להסיק את השוויון הבא.
<center>
<math>
a^r=a^{\frac{n}{m}}=a^{\frac{1}{m}\cdot{n}}={(a^{\frac{1}{m}})}^n={(\sqrt[m]{a})}^n
</math>
</center></br>
כאשר ידוע ש a הוא מספר חיובי אז גם מתקיים
<center>
<math>
{\left(\sqrt[m]{a}\right)}^n=\sqrt[m]{a^n}
</math>
</center></br>
אנו ממליצים למשתמש בספר זה להתבונן היטב ולוודא שהוא אכן מבין את כל אחד מהמעברים.
==שורשים של מספרים שליליים ומעריכים אי-רציונליים==
שורשים של מספרים שליליים מוגבלים לשורשים מסדר אי-זוגי, למשל 3,5 וכו'. זאת מכיוון שלא קיים מספר ממשי אשר כאשר מעלים אותו בריבוע מביא לתוצאה שלילית. מסיבה זו, גם חזקות של מעריכים לא שלמים מוגבלות באותו אופן.
ההגדרה המדוייקת של חזקה של מספר אי-רציונלי אינה חלק מהחומר אשר אנו מקווים לכסות בספר זה. נדגיש כאן, עם זאת, ש'''חזקה של מספר אי רציונלי מוגדרת רק עבור בסיס אי-שלילי'''.
=תרגילים=
==פעולות חזקה בסיסיות==
===תרגילים===
חשב ללא שימוש במחשבון
#<math>
{2^{5}}
</math></br>
#<math>
{4^2}
</math></br>
#<math>
{3}^{\left(-2\right)}
</math></br>
#<math>
{5}^{\left(-3\right)}
</math></br>
#<math>
5\cdot{2}^3
</math></br>
#<math>
\left(5\cdot{2}\right)^3
</math></br>
#<math>
{\left(\frac{2}{3}\right)}^{(-2)}
</math></br>
#<math>
\frac{-1}{2^3}
</math></br>
#<math>
\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^{2}\right)^{3}
</math></br>
#<math>
\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}\right)^{-1}
</math></br>
#<math>
{3}^3\cdot{9}^{\left(-1\right)}
</math></br>
===תשובות===
#32
#16
#<math>\frac{1}{9}</math>
#<math>\frac{1}{125}</math>
#40
#1000
#<math>\frac{9}{4}</math>
#<math>\left(-\frac{1}{8}\right)</math>
#<math>\frac{729}{64}</math>
#<math>\frac{1}{9}</math>
#3
==חזקות ושורשים==
חשב ללא עזרת מחשבון
#<math>
\sqrt{25}
</math>
#<math>
\sqrt{256}
</math>
#<math>
\sqrt[3]{8}
</math>
#<math>
\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}
</math>
#<math>
\sqrt[6]{2}\cdot\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{7}{\sqrt{2}}}
</math>
#<math>
\frac{\left(8\cdot{a}^{12}\right)^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{1}{2}}}
</math>
==תשובות==
#5
#16
#2
#<math>\frac{1}{3}</math>
#2
#<math>a^2</math>
| 