חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1:
פונקציות הוא נושא בו נעסוק רבות בקורס זה. כרגע, ניתן לקורא מבוא קצר ביותר, על מנת שיהיה לו מושג כלשהו במה מדובר. זכרו: אנו מניחים ידע ברמה של 5 יח"ל המתמטיקה, לכן אנו מניחים שהקורא כבר נפגש עם פונקציות בעברו. אף על פי כן, ראוי ונכון לתת מבוא קצר בנושא כל כך חשוב.
=הגדרה=
<u> פונקציה </u> הינה התאמה או העתקה של איברים מקבוצה הנקראת "תחום הגדרת הפונקציה" (או בקיצור: תחום) לקבוצה הנקראת "תמונת הפונקציה" (או בקיצור: תמונה). במילים אחרות, ה''תחום'' הינו קבוצת כל האיברים עליהם ניתן להפעיל את הפונקציה (כלומר כל האיברים שהפונקציה יכולה לקבל), וה''תמונה'' הינה קבוצת כל הערכים שיכולים להתקבל כתוצאה מהפעלת הפונקציה על האיברים בתחום. אם התמונה מהווה תת-קבוצה של קבוצה גדולה אחרת, הקבוצה הגדולה יותר תקרא "טווח הפונקציה" או בקיצור "טווח". </br>
ההתאמה הינה ''חד ערכית'', כלומר לכל איבר בתחום הגדרת הפונקציה מותאם איבר יחיד בקבוצת הטווח. במילים אחרות, אם נתונה פונקציה <math>\ f</math> ואיבר <math>\ x_0\in\mathbb{R}</math>, קיים <math>\ y_0\in\mathbb{R}</math> ''יחיד'' המקיים: <math>\ f\left( x_0\right) =y_0</math>.</br></br>
[[תמונה:P1fstt.jpg|תרשים להמחשה: תחום, טווח ותמונה]] <br>
נהוג לכתוב פונקציה באופן הבא:</br>
<math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & A & \rightarrow & B \\ & x & \mapsto & f\left( x\right) \end{matrix}</math>, כאשר: A הינה התחום ו-B היא הטווח. </br>
הגדרות:
# יהא <math>\ y_0\in\mathbb{R} </math> כלשהו, ונניח שקיים <math>\ x_0\in\mathbb{R} </math> כך ש- <math>\ f\left( x\right) =y_0</math>. במקרה זה, אומרים ש- <math>\ x_0</math> הוא '''''מקור''''' של <math>\ y_0</math>.
# יהא <math>\ y_0\in\mathbb{R} </math> כלשהו, ונניח שקיים <math>\ x_0\in\mathbb{R} </math> כך ש- <math>\ f\left( x\right) =y_0</math>. במקרה זה, אומרים ש- <math>\ y_0</math> היא '''''התמונה''''' של <math>\ x_0</math>.
* שימו לב: בגלל שהפונקציה היא חד-ערכית, לכל מקור יש תמונה אחת בלבד. לתמונה, לעומת זאת, יכולים להיות שניים, שלושה ואפילו אינסוף מקורות. למשל, עבור הפונקציה הקבועה <math>\ f\left( x\right) = 5</math>, למספר 5 יש אינסוף מקורות.</br>
דוגמא: נתבונן בפונקציה:</br> <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \left\{ 1,2,5 \right\} & \leftarrow & \left\{ 3,7,14 \right\} \\ & 1 & \mapsto & 3 \\ & 2 & \mapsto & 7 \\ & 5 & \mapsto & 14 \end{matrix}</math> </br>במקרה זה, התחום הינו הקבוצה <math>\ \left\{ 1,2,5 \right\}</math> והתמונה הינה הקבוצה <math>\ \left\{ 3,7,4 \right\}</math>. במקרה כזה, אנו יכולים להגיד שהטווח הכללי של הפונקציה הוא <math>\ \mathbb{N}</math>.
=תכונות=
כאמור למעלה, פונקציה היא תמיד ''חד ערכית''. נראה אילו תכונות נוספות פונקציה כללית <math>\ f\left( x\right)</math> יכולה לקיים:
==חד חד ערכיות==
נגיד שפונקציה היא ''חד-חד-ערכית'' (ונכתוב: 1:1 או חח"ע) אם לכל איבר בתמונה קיים מקור '''אחד בלבד'''. במקרה זה, נוכל להגיד שזהו ''ה''מקור של אותו איבר בתמונה.
==על==
נגיד שפונקציה היא ''על'' אם לכל איבר בטווח קיים איבר בתחום שמתאים לו. תכונה זו, כפי שנראה בהמשך, תלויה פעמים רבות בהגדרת הטווח.
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
<tr>
| |||